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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设函数是定义域为的奇函数。

(1)求的值;

(2)若,试说明函数的单调性,并求使不等式恒成立的的取值范围。

正确答案

(1)2(2)

解析

解析:(1)由题意,对任意,即

………………2分

因为为任意实数,所以,                   ………………4分

解法二:因为是定义域为的奇函数,所以,即

时,是奇函数。

所以的值为,                                    ………………4分

(2)由(1)知,由,得,解得

………………6分

时,是减函数,也是减函数,所以是减函数。

………………7分

,所以,………………8分

因为是奇函数,所以。         ………………9分

因为上的减函数,所以对任意成立,                                                  ………………11分

所以△,                              ………………12分

解得。                                       ………………13分

所以,的取值范围是。                            ………………14分

知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质不等式恒成立问题
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

如右图所示的函数图像,则它所对应的函数解析式为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

通过图像可以分析出处有意义且为奇函数,增函数,函数值有上下界, 为偶函数, 值域为,为减函数且定义域中,故只有A。

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

已知函数,数列的前项和为,且对一切正整数,点都在函数的图像上。

(1)求数列的通项公式;

(2)设,等差数列的任一项,其中中最的小数,且,求的通项公式;

(3)设数列满足,是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

见解析

解析

(1)∵点都在函数的图像上,∴,………(2分)

时,

时,

时,也满足。

。                                                    ………(4分)

(2)∵

,又  ∵,∴  即数列的公差是4 的倍数………(6分)

中的最小数为6,∴,∴

又∵

 解得。                                  ………(8分)

等差数列的公差为,由得    故………(10分)

(3) 由 所以,     ………(12分)

成等比数列,则

,    ……………(14分)

可得,所以

从而,  ………(16分)

,且,所以,此时

故当且仅当.使得成等比数列………(18分)

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

设数列满足),前项和为,已知点,,都在直线上(其中常数,),又

(1)求证:数列是等比数列;

(2)若,求实数的值;

(3)如果存在使得点和点都在直线上,问是否存在正整数,当时,恒成立?若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析:

(1)因为点都在直线上,

所以,得,                               ………2分

其中。                                                  ………3分

因为常数,且,所以为非零常数。

所以数列是等比数列。                                             ………4分

(2)由,得,                            ………7分

所以,得。                                             ………8分

在直线上,得,                                      ………9分

。                               ………10分

(3)由恒成立等价于

因为存在使得点和点都在直线上。

做差得:。                   ………12分

易证是等差数列,设其公差为,则有,因为

所以,又由

即:数列是首项为正,公差为负的等差数列,所以一定存在一个最小自然数

………16分

使,,   即 解得

因为,所以

即存在自然数,其最小值为,使得当  时,恒成立。  ………18分

(其它解法可参考给分)

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数

(1)求函数的单调递增区间;

(2)将函数图像向右平移个单位后,得到函数的图像,求方程的解。

正确答案

见解析

解析

(1)

得:

的单调递增区间是

(2)由已知,

,得

.

知识点

函数单调性的性质
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

一组数据9.8, 9.9, 10,a, 10.2的平均数为10,则该组数据的方差为      .

正确答案

0.02

解析

由已知先求得,故

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设函数的最大值为,最小值为,其中

(1)求的值(用表示);

(2)已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,求的值。

正确答案

见解析

解析

解(1) 由题可得

所以,    

(2) 终边经过点

, 则

所以,

时,

所以,     ,。

综上所述  

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知函数的值域为集合

(1)若全集,求

(2)对任意,不等式恒成立,求实数的范围;

(3)设是函数的图像上任意一点,过点分别向直线轴作垂线,垂足分别为,求的值。

正确答案

(1)(2)(3)-1

解析

解析:

(1)由已知得, ,则                       ………1分

当且仅当时,即等号成立,

                                                ………3分

所以,                                          ………4分

(2)由题得                                                ………5分

函数的最大值为                          ………9分

                                                            ………10分

(3)设,则直线的方程为

,                                                ………11分

  得                          ………13分

,                                                    ………14分

所以,故      ………16分

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时,它的燃料费是每小时元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行。

(1)求的值;(2)求该轮船航行海里的总费用(燃料费+航行运作费用)的最小值。

正确答案

(1)0.96(2)2400(元)

解析

解析:(1)由题意得燃料费,………………………………2分

=10,代入得=0.96.………………………………………………6分

(2),……………………………………9分

=,………………………11分

其中等号当且仅当时成立,解得

所以,该轮船航行海里的总费用的最小值为2400(元).

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”。

(1)判断函数是否为“()型函数”,并说明理由;

(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)函数是“()型函数”

因为由,得,所以存在这样的实数对,如

(2) 由题意得,,所以当时, ,其中,

时,,且其对称轴方程为,

①       当,即时,上的值域为,即,则上的值域为,由题意得,此时无解

②当,即时,的值域为,即,所以则 上的值域为,则由题意得,解得

③       当,即时,的值域为,即,则上的值域为=,

,解得.

综上所述,所求的取值范围是

知识点

函数单调性的性质
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