- 函数单调性的性质
- 共384题
设函数是定义域为
的奇函数。
(1)求的值;
(2)若,试说明函数
的单调性,并求使不等式
恒成立的的取值范围。
正确答案
(1)2(2)
解析
解析:(1)由题意,对任意,
,即
,
………………2分
即,
,
因为为任意实数,所以
, ………………4分
解法二:因为是定义域为
的奇函数,所以
,即
,
。
当时,
,
,
是奇函数。
所以的值为
, ………………4分
(2)由(1)知,由
,得
,解得
。
………………6分
当时,
是减函数,
也是减函数,所以
是减函数。
………………7分
由,所以
,………………8分
因为是奇函数,所以
。 ………………9分
因为是
上的减函数,所以
即
对任意
成立, ………………11分
所以△, ………………12分
解得。 ………………13分
所以,的取值范围是。 ………………14分
知识点
如右图所示的函数图像,则它所对应的函数解析式为
正确答案
解析
通过图像可以分析出在
处有意义且为奇函数,增函数,函数值有上下界,
为偶函数,
值域为
,
为减函数且定义域中
,故只有A。
知识点
已知函数,数列
的前
项和为
,且对一切正整数
,点
都在函数
的图像上。
(1)求数列的通项公式;
(2)设,
,等差数列
的任一项
,其中
是
中最的小数,且
,求
的通项公式;
(3)设数列满足
,是否存在正整数
,使得
成等比数列?若存在,求出所有的
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析
解析
(1)∵点都在函数
的图像上,∴
,………(2分)
当时,
;
当时,
,
当时,也满足。
故。 ………(4分)
(2)∵,
∴,又 ∵
,∴
即数列
的公差是4 的倍数………(6分)
又中的最小数为6,∴
,∴
,
,
又∵
∴ 解得
。 ………(8分)
等差数列的公差为
,由
得
故
………(10分)
(3) 由 所以
, ………(12分)
若成等比数列,则
,
即, ……………(14分)
可得,所以
,
从而, ………(16分)
又,且,所以
,此时
。
故当且仅当,
.使得
成等比数列………(18分)
知识点
设数列满足
且
(
),前
项和为
,已知点
,
,
都在直线
上(其中常数
且
,
,
),又
。
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,求实数
,
的值;
(3)如果存在、
,
使得点
和点
都在直线
上,问是否存在正整数
,当
时,
恒成立?若存在,求出
的最小值,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)因为点都在直线
上,
所以,得
, ………2分
其中。 ………3分
因为常数,且
,所以
为非零常数。
所以数列是等比数列。 ………4分
(2)由,得
, ………7分
所以,得
。 ………8分
由在直线上,得
, ………9分
令得
。 ………10分
(3)由知
恒成立等价于
。
因为存在、
,
使得点
和点
都在直线
上。
由与
做差得:
。 ………12分
易证是等差数列,设其公差为
,则有
,因为
,
所以,又由
,
而
得得
即:数列是首项为正,公差为负的等差数列,所以一定存在一个最小自然数,
………16分
使,, 即
解得
因为,所以
,
即存在自然数,其最小值为
,使得当
时,
恒成立。 ………18分
(其它解法可参考给分)
知识点
已知函数,
(1)求函数的单调递增区间;
(2)将函数图像向右平移
个单位后,得到函数
的图像,求方程
的解。
正确答案
见解析
解析
(1),
由得:
的单调递增区间是
;
(2)由已知,,
由,得
,
,
.
知识点
一组数据9.8, 9.9, 10,a, 10.2的平均数为10,则该组数据的方差为 .
正确答案
0.02
解析
由已知先求得,故
知识点
设函数的最大值为
,最小值为
,其中
。
(1)求的值(用
表示);
(2)已知角的顶点与平面直角坐标系
中的原点
重合,始边与
轴的正半轴重合,终边经过点
,求
的值。
正确答案
见解析
解析
解(1) 由题可得而
所以,
(2) 角终边经过点
当时
,
, 则
所以,
当时,
则
所以, ,。
综上所述 或
知识点
已知函数的值域为集合
,
(1)若全集,求
;
(2)对任意,不等式
恒成立,求实数
的范围;
(3)设是函数
的图像上任意一点,过点
分别向直线
和
轴作垂线,垂足分别为
、
,求
的值。
正确答案
(1)(2)
(3)-1
解析
解析:
(1)由已知得, ,则
………1分
当且仅当时,即
等号成立,
………3分
所以, ………4分
(2)由题得 ………5分
函数在
的最大值为
………9分
………10分
(3)设,则直线
的方程为
,
即, ………11分
由 得
………13分
又, ………14分
所以,
,故
………16分
知识点
某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为.轮船的最大速度为
海里/小时.当船速为
海里/小时,它的燃料费是每小时
元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时
元.假定运行过程中轮船以速度
匀速航行。
(1)求的值;(2)求该轮船航行
海里的总费用
(燃料费+航行运作费用)的最小值。
正确答案
(1)0.96(2)2400(元)
解析
解析:(1)由题意得燃料费,………………………………2分
把=10,
代入得
=0.96.………………………………………………6分
(2),……………………………………9分
=,………………………11分
其中等号当且仅当时成立,解得
,
所以,该轮船航行海里的总费用
的最小值为2400(元).
知识点
对于函数,若存在实数对(
),使得等式
对定义域中的每一个
都成立,则称函数
是“(
)型函数”。
(1)判断函数是否为“(
)型函数”,并说明理由;
(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当
时,都有
成立,且当
时,
,若,试求
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)函数是“(
)型函数”
因为由,得
,所以存在这样的实数对,如
(2) 由题意得,,所以当
时,
,其中
,
而时,
,且其对称轴方程为
,
① 当,即
时,
在
上的值域为
,即
,则
在
上的值域为
,由题意得
,此时无解
②当,即
时,
的值域为
,即
,所以则
在
上的值域为
,则由题意得
且
,解得
③ 当,即
时,
的值域为
,即
,则
在
上的值域为
=
,
则,解得
.
综上所述,所求的取值范围是
知识点
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