函数单调性的性质
共384题

· 函数单调性的性质

函数单调性的性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数，（）

（1）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；

（2）若对任意，都有唯一的，使得成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）且在区间上不单调，

区间上有两不等实根或有一根，

即区间上有两不等实根或有一根

令，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，的取值范围是………………….6分

（2）在上单调递增，在上单调递减，

且的值域为，

记，

原问题等价于：，存在唯一的，使得成立。

① 当时，恒成立，单调递减，由，

，解得：…………………..8分

② 当时，恒成立，单调递增，，不合题意，舍去…………………10分

③ 当时，在上单调递减，在上单调递增，

且，

要满足条件则…………….….12分

综上所述：的取值范围是……………………14分

知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

在函数的图象上有点列，若数列是等差数列，数列是等比数列，则函数的解析式可以为 (　　)

正确答案

解析

对于函数f(x)＝x上的点列(xn，yn)，有yn＝，由于{xn}是等差数列，所以xn+1－xn＝d，因此＝，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列，故选D.

知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，已知P是边长为2的正三角形的边BC上的动点，则（）

A最大值为8

B是定值6

C最小值为2

D与P的位置有关

正确答案

解析

设BC的中点为D，的夹角为，则有。

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

若函数且有两个零点，则实数的取值范围是。

正确答案

解析

作图分析知当时只有一个零点，当时有两个零点

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若抛物线在点处的切线斜率为1，则线段。

正确答案

解析

设，因为，所以，，可得，因为，所以直线的方程为，故.

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为 m/s。

正确答案

解析

如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB，设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，则∵BE∥CD，∴。

∴，∴y=x， x=t，

∴y=x=t。

∵y′=，∴人影长度的变化速率为m/s。

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

在等比数列中，，，设，为数列的前项和。

（1）求和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）设的公比为，由得，

∴。 ---------------------------------- 2分

∴。

-------------------------------------5分

（2）

①当为偶数时，由恒成立得，恒成立，

即， ----------------------------------6分

而随的增大而增大，∴时，

∴； ----------------------------------8分

②当为奇数时，由恒成立得，恒成立，

即， -----------------------------------9分

而，当且仅当等号成立，

∴。 ---------------------------------------11分

综上，实数的取值范围. ----------------------------------------12分

知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

双曲线的焦距为，焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为

C或

D或

正确答案

解析

由题知，故，这样的双曲线标准方程有两个．

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用符号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：

①；②。

（1）若时，数列通项公式为；

（2）当时，对任意都有，则的值为。

正确答案

（1）（2）或

解析

（1）若时，，则

（2）

当时，由知，，所以，且．

①当时，，故

（舍去）

②当时，，故

（舍去）

综上，或

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.

（1）求的极值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）令，则 ………2分

………5分

，.………7分

（2）由已知，当时，恒成立

即恒成立， ………9分

令，则 ………12分

当时, ,单调递增

当时, ,单调递减

故当时,

………14分

知识点

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