等比数列_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

对于各项均为正数的无穷数列，记，给出下列定义：①若存在实数，使成立，则称数列为“有上界数列”；②若数列为有上界数列，且存在，使成立，则称数列为“有最大值数列”；③若，则称数列为“比减小数列”。

（1）根据上述定义，判断数列是何种数列？

（2）若数列中，，，求证：数列既是有上界数列又是比减小数列；

（3）若数列是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：，。

正确答案

见解析

解析

（1），

且显然，且存在，

所以数列既是有上界数列，又是有最大值数列，………3分

（2）下面用数学归纳法证明，显然，假设n=k时命题成立，即

当n=k+1时，

所以，当n=k+1时，命题成立，即；

下面证明。，因为，所以，即，由，，两式相除得：，，

所以，，即；下面证明

即需证明，即需证明，而已证明成立，

所以，即，

所以，数列既是比减少数列又是有上界数列；………6分

（3）用反证法，假设对于，，即，因为无穷数列各项为正且单调递增，所以。，所以，当，时，，所以无穷数列不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列，，，……4分

知识点

等比数列的判断与证明

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对［P，Q］是函数y=f（x）的一个“友好点对”（点对［P，Q］与［Q，P］看作同一个“友好点对”），已知函数f(x)= ，则此函数的“友好点对”有

A0对

B1对

C2对

D3对

正确答案

C

解析

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设等比数列{}的前n项和为Sn，已知。

（1）求数列{}的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。

（I）在数列{}中是否存在三项（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；

（II）求证：

正确答案

见解析。

解析

（1）由,

可得：,

两式相减：.

又,

因为数列是等比数列，所以，故.

所以 .

（2）由（1）可知，

因为：，得.

（Ⅰ）假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，

则：，即：,

（*）

因为成等差数列，所以 ,

（*）可以化简为，故，这与题设矛盾.

所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列.…10分

（Ⅱ）令，

,

两式相减：

.

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知数列满足，()，则的值为；

的值为。

正确答案

；2

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设数列的前项和为，且满足。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1），，

又，

是首项为，公比为的等比数列，且，

（2）当时，，

当时，，

故，

，

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设等比数列的前项和为，已知()

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列。

求证：()。

正确答案

见解析。

解析

（1）设等比数列的首项为，公比为，

，（）

=

即()

当,得，即，解得：

即.

（2）①，则，

设① 则②

① -②得：2+

=+

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知动圆与直线相切，并与定圆相内切.

（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程.

（2）过原点作斜率为1的直线交曲线C于（为第一象限点），又过作斜率为的直线交曲线C于，再过作斜率为的直线交曲线C于……如此继续，一般地，过作斜率为的直线交曲线C于，设.

①令，求证：数列是等比数列；

②数列的前n项和为，试比较大小.

正确答案

见解析

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合定义法求轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知各项均不为零的数列，定义向量，则下列命题中是真命题的是

A若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

B若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

C若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

D若对任意的，都有成立，则数列是等比数列

正确答案

A

解析

略

知识点

平面向量共线（平行）的坐标表示量积判断两个平面向量的垂直关系等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列的各项均为正数，记,,

。

（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式。

（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。

正确答案

见解析

解析

（1）因为对任意，三个数是等差数列，

所以， ………1分

所以, ………2分

即， ………3分

所以数列是首项为１，公差为４的等差数列， ………4分

所以， ………5分

（2）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则

， ………6分

所以得

即， ………7分

因为当时，由可得， ………8分

所以。

因为，

所以，

即数列是首项为，公比为的等比数列， ………9分

（２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有

， ………10分

因为，

所以均大于，于是

………11分

………12分

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列。

………13分

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列， ………14分

知识点

充要条件的应用等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明

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正确答案

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