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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)求函数的单调区间;

(2)函数在区间上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1).

,得,或.

①当,即时,在上,单调递减;

②当,即时,在上,单调递增,在上,单调递减。

综上所述:时,的减区间为时,的增区间为的减区间为

(2)

1)当时,由(1)上单调递减,不存在最小值;

2)当时,

,即时,上单调递减,不存在最小值;

,即时,上单调递增,在上单调递减,

因为,且当时,,所以时,

又因为,所以当,即时,有最小值,即时, 没有最小值。

综上所述:当时,有最小值;当时,没有最小值。

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P,设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:

①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;

②f(x2)在[1,]上具有性质P;

③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];

④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]

其中真命题的序号是(  )

A①②

B①③

C②④

D③④

正确答案

D

解析

在①中,反例:f(x)=在[1,3]上满足性质P,

但f(x)=在[1,3]上不是连续函数,故①不成立;

在②中,反例:f(x)=﹣x在[1,3]上满足性质P,但f(x2)=﹣x2在[1,]上不满足性质P,

故②不成立;

在③中:在[1,3]上,f(2)=f()≤

故f(x)=1,

∴对任意的x1,x2∈[1,3],f(x)=1,

故③成立;

在④中,对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],

=

=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],

[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],

故④成立。

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型:填空题
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填空题 · 5       分

是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中,若,则的值为()。

正确答案

-10

解析

是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。

又∵

②。

联立①②,解得,。∴

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数

(1)若函数处有极值为10,求b的值;

(2)若对于任意的上单调递增,求b的最小值。

正确答案

(1)

(2)的最小值为

解析

(1),        ……………………………… 1分

于是,根据题设有

解得 或                        ……………………3分

时,,所以函数有极值点;            ………………………………………………………………4分

时,,所以函数无极值点,……………5分

所以 ,………………………………………………………………6分

(2)法一:对任意都成立,………7分

所以 对任意都成立…8分

因为 ,

所以 上为单调递增函数或为常数函数,    ………9分

所以 对任意都成立 …10分

.         …………………………………………11分

所以 当时,,………………………………12分

所以 

所以 的最小值为,                ………………………………13分

法二:对任意都成立, ……………7分

对任意都成立,

,         …………………………………………8分

,………………………………9分

时,,于是;…………………………10分

时,,于是, ,………11分

,所以 。       ………………………………12分

综上,的最小值为。                ………………………………13分

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数

(1)求函数的单调递增区间;

(2)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知, ,求△ABC的面积。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)

                                 …………1分

                …………3分

                                   …………5分

函数的单调递增区间.      …………6分

(2)由

因为内角,由题意知,所以

因此,解得。                            …………8分

由正弦定理,得,                      …………10分

,由,可得 ,…………12分

。            …………13分

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数

(1)求的最小正周期;

(2)求函数的最大值和最小值。

正确答案

(1)

(2)最大值;最小值

解析

(1)由已知,得

                      ……………………2分

,                           ……………………4分

所以 

的最小正周期为;                 ……………………6分

(2)因为 ,所以 。      ……………… 7分

于是,当时,即时,取得最大值;…… 10分

时,即时,取得最小值,……………13分

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数)。

(1) 求的单调区间;

(2) 如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;

(3) 讨论关于的方程的实根情况。

正确答案

见解析

解析

(1) ,定义域为

因为,由, 由

所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为

(2)由题意,以为切点的切线的斜率满足

 

所以恒成立。

又当时,

所以的最小值为

(3)由题意,方程化简得

+ 

,则

时,

时,

所以在区间上单调递增,在区间上单调递减。

所以处取得极大值即最大值,最大值为

所以  当,  即时, 的图象与轴恰有两个交点,

方程有两个实根,

时,  的图象与轴恰有一个交点,

方程有一个实根,

时,  的图象与轴无交点,

方程无实根。

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数的定义域为,若存在非零实数,使得对于任意,则称上的度低调函数,已知定义域为的函数,且上的度低调函数,那么实数的取值范围是(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

略。

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数

A上递增

B上递增,在上递减

C上递减

D上递减,在上递增

正确答案

D

解析

知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数

(1) 求的最小正周期;

(2) 当时,求的取值范围。

正确答案

(1)

解析

(1)因为

=

所以的最小正周期

(2) 因为

所以

所以的取值范围是

知识点

函数的单调性及单调区间
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