- 函数的基本性质
- 共1843题
已知函数,
。
(1)求函数的单调区间;
(2)函数在区间
上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1),
.
由,得
,或
.
①当,即
时,在
上,
,
单调递减;
②当,即
时,在
上,
,
单调递增,在
上,
,
单调递减。
综上所述:时,
的减区间为
;
时,
的增区间为
,
的减区间为
。
(2)
1)当时,由(1)
在
上单调递减,不存在最小值;
2)当时,
若,即
时,
在
上单调递减,不存在最小值;
若,即
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
因为,且当
时,
,所以
时,
。
又因为,所以当
,即
时,
有最小值
;
,即
时,
没有最小值。
综上所述:当时,
有最小值
;当
时,
没有最小值。
知识点
函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P,设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;
②f(x2)在[1,]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];
④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命题的序号是( )
正确答案
解析
在①中,反例:f(x)=在[1,3]上满足性质P,
但f(x)=在[1,3]上不是连续函数,故①不成立;
在②中,反例:f(x)=﹣x在[1,3]上满足性质P,但f(x2)=﹣x2在[1,]上不满足性质P,
故②不成立;
在③中:在[1,3]上,f(2)=f()≤
,
∴,
故f(x)=1,
∴对任意的x1,x2∈[1,3],f(x)=1,
故③成立;
在④中,对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],
有=
≤
≤
=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],
∴[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],
故④成立。
知识点
设是定义在
上且周期为2的函数,在区间
上,
其中
,若
,则
的值为()。
正确答案
-10
解析
∵是定义在
上且周期为2的函数,∴
,即
①。
又∵,
,
∴②。
联立①②,解得,。∴
。
知识点
已知函数
(1)若函数在
处有极值为10,求b的值;
(2)若对于任意的,
在
上单调递增,求b的最小值。
正确答案
(1)
(2)的最小值为
解析
(1), ……………………………… 1分
于是,根据题设有
解得 或
……………………3分
当时,
,
,所以函数有极值点; ………………………………………………………………4分
当时,
,所以函数无极值点,……………5分
所以 ,………………………………………………………………6分
(2)法一:对任意
,
都成立,………7分
所以 对任意
,
都成立…8分
因为 ,
所以 在
上为单调递增函数或为常数函数, ………9分
所以 对任意
都成立 …10分
即 . …………………………………………11分
又,
所以 当时,
,………………………………12分
所以 ,
所以 的最小值为
, ………………………………13分
法二:对任意
,
都成立, ……………7分
即对任意
,
都成立,
即, …………………………………………8分
令,………………………………9分
当时,
,于是
;…………………………10分
当时,
,于是,
,………11分
又 ,所以
。 ………………………………12分
综上,的最小值为
。 ………………………………13分
知识点
已知函数。
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,
,
,求△ABC的面积。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)
…………1分
…………3分
令
…………5分
函数的单调递增区间
. …………6分
(2)由,
,
因为为
内角,由题意知
,所以
因此,解得
。 …………8分
由正弦定理,得
, …………10分
由,由
,可得
,…………12分
∴。 …………13分
知识点
已知函数。
(1)求的最小正周期;
(2)求函数在
的最大值和最小值。
正确答案
(1)
(2)最大值;最小值
解析
(1)由已知,得
……………………2分
, ……………………4分
所以 ,
即的最小正周期为
; ……………………6分
(2)因为 ,所以
。 ……………… 7分
于是,当时,即
时,
取得最大值
;…… 10分
当时,即
时,
取得最小值
,……………13分
知识点
已知函数(
)。
(1) 求的单调区间;
(2) 如果是曲线
上的任意一点,若以
为切点的切线的斜率
恒成立,求实数
的最小值;
(3) 讨论关于的方程
的实根情况。
正确答案
见解析
解析
(1) ,定义域为
,
则。
因为,由
得
, 由
得
,
所以的单调递增区间为
,单调递减区间为
。
(2)由题意,以为切点的切线的斜率
满足
,
所以对
恒成立。
又当时,
,
所以的最小值为
。
(3)由题意,方程化简得
+
令,则
。
当时,
,
当时,
,
所以在区间
上单调递增,在区间
上单调递减。
所以在
处取得极大值即最大值,最大值为
。
所以 当, 即
时,
的图象与
轴恰有两个交点,
方程有两个实根,
当时,
的图象与
轴恰有一个交点,
方程有一个实根,
当时,
的图象与
轴无交点,
方程无实根。
知识点
函数的定义域为
,若存在非零实数
,使得对于任意
有
且
,则称
为
上的
度低调函数,已知定义域为
的函数
,且
为
上的
度低调函数,那么实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
略。
知识点
函数
正确答案
解析
略
知识点
已知函数。
(1) 求的最小正周期;
(2) 当时,求
的取值范围。
正确答案
(1)
解析
(1)因为
=
。
所以的最小正周期
。
(2) 因为,
所以。
所以的取值范围是
知识点
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