函数的基本性质
共1843题

函数的基本性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数，则其零点所在的区间为（）

A（0，1）

B（1，2）

C（2，3）

D（3，4）

正确答案

解析

在上单调增，，，故零点所在区间。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：

①f（x）在[m，n]内是单调的；

②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]。

则称[m，n]是该函数的“和谐区间”，若函数f（x）=存在“和谐区间”，则a的取值范围是（　　）

A（0，1）

B（0，2）

C（）

D（1，3）

正确答案

解析

由题意可得函数f（x）=在区间[m，n]是单调的，

所以[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，

故m、n是方程的两个同号的实数根，

即方程ax2﹣（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn==1＞0，

故只需△=（a+1）2﹣4a2＞0，解得＜a＜1，

结合a＞0，可得0＜a＜1

故选A

知识点

函数的值域函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为。

（1）求矩阵A；

（2）若，求x，y的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，得，即

解得a＝2，b＝4。

所以，

（2）解法一：，即，

所以

解得

解法二：因为，所以，

因为，所以。

所以

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知且x，y为锐角，则tan（x -y）= 。

正确答案

解析

两式平方相加得：，

∵x、y为锐角，sinx－siny<0，∴x<y，

∴sin（x－y）＝

∴tan（x－y）＝＝

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有，记，则=（　　）

正确答案

解析

因an=f（）=f（）=f（）﹣f（），

故ai=a1+a2+…+a8=f（）﹣f（）+f（）﹣f（）+…+f（）﹣f（）

=f（）﹣f（）

=f（）

=f（），

故选C。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知二阶矩阵将点变换为, 且属于特征值的一个特征向量是, 求矩阵。

正确答案

见解析

解析

解：设, 由, 得……

再由, 得, ∴, ∴…

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 10 分

设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值。

正确答案

见解析。

解析

设曲线上任意一点，

在矩阵所对应的变换作用下得到点，

则，即，

又点在曲线上，所以，

则为曲线的方程。

又曲线的方程为，故，，

因为，所以。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数（,,）的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和

（1）求函数的解析式；

（2）若锐角满足，求的值.

正确答案

（1）（2）

解析

解析:（1）由题意可得……………………………………………………………1分

即，……………………………………………… 3分

，

由且，得 ………………………………………5分

函数…… ………………………………………………6分

由于且为锐角，所以…… ………………………………8分

…………………………………10分

………………12分

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

在一个矩形体育馆的一角MAN内（如图所示），用长为a的围栏设置一个运动器材储

存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点。

（1）若BC＝a＝10，求储存区域三角形ABC面积的最大值；

（2）若AB＝AC＝10，在折线MBCN内选一点D，

使DB＋DC＝a＝20，求储存区域四边形DBAC

面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）设，则，

所以

，

当且仅当，即时，取得最大值。

（2）由，知点在以为焦点的椭圆上，

因为，所以要使四边形面积最大，只需的面积最大，此时点到的距离最大，即必为椭圆短轴顶点，由，得短半轴长为，

所以的最大值为。

因此，四边形面积的最大值为。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数的图象在x=2处的切线与直线x－5y－12=0垂直。

（1）求函数的极值与零点；

（2）设，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；

（3）若，，，且，证明：

正确答案

见解析

解析

解析：（1）因为，所以，

解得：或，又，所以， ………2分

由，解得，，列表如下：

所以，， ………4分

因为，

所以函数的零点是。 ………5分

（2）由（1）知，当时，，

“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值大于在上的最小值，即当时，”， ………6分

因为，

① 当时，因为，所以，符合题意；

② 当时，，所以时，，单调递减，

所以，符合题意；

③ 当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，，

令（），则，所以在上单调递增，所以时，，即，

所以，符合题意。

综上所述，若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是。 ………10分

（3）证明：由（2）知，当时，，即，

当，，，且时，，，，

所以

又因为，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

当且仅当时取等号， ………14分

知识点

函数单调性的判断与证明

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