- 函数的基本性质
- 共1843题
若,则=() .
正确答案
解析
略
知识点
已知函数,其中实数是常数。
(1)已知,,求事件:“”发生的概率;
(2)若是上的奇函数,是在区间上的最小值,求当时的解析式;
(3)记的导函数为,则当时,对任意,总存在使得,求实数的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,等可能发生的基本事件共有9个:
其中事件: “”,包含6个基本事件:
故。 即事件“”发生的概率
(2)是上的奇函数,得(5分)
∴ ,
① 当时,因为,所以,在区间上单调递减,从而;
② 当时,因为,所以,在区间上单调递增,从而,
综上,知
(3)当时,
当
,即
又,
而,
对任意,总存在使得
且,解得
知识点
定义在上的函数同时满足性质:①对任何,均有成立;②对任何,当且仅当时,有.则的值为 .
正确答案
0
解析
略
知识点
已知函数
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求的值;
(3)设,求的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)f(x)的最小正周期为T==3π;
(2)将x=代入得:f()=tan(﹣)=tan=;
(3)由f(3α+)=﹣,得tan[(3α+)﹣]=﹣,即tan(π+α)=﹣,
∴tanα=﹣,
∵cosα≠0,
则原式====﹣3。
知识点
(1)已知、为正实数,,,.试比较与的大小,并指出两式相等的条件;
(2)求函数,的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1)作差比较:=.………………4分
所以,.…………………………………………6分
当时,两式相等。 …………………………………………8分
(2)解法1:.……………3分
当,即时,,函数取得最大值25. ……6分
解法2:,令,则,
设,则,化简并变形得;
因为, ……………3分
当且仅当时等号成立,且时递增,时递减,或时,,所以,,当即时取得最大值25。 ……6分
知识点
已知函数。
(1)若f(x)=f1(x)+f2(x)﹣bf2(﹣x),是否存在a,b∈R,y=f(x)为偶函数,如果存在,请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;
(2)若a=2,b=1.求函数g(x)=f1(x)+f2(x)在R上的单调区间;
(3)对于给定的实数∃x0∈[0,1],对∀x∈[0,1],有|f1(x)﹣f2(x0)|<1成立,求a的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
解:(1)存在a=0,b=﹣1使y=f(x)为偶函数
证明如下:此时:f(x)=e|x|+e﹣x+ex,x∈R
∴f(﹣x)=e|﹣x|+ex+e﹣x=f(x),
∴y=f(x)为偶函数,
(注:a=0,b=0)也可以)
(2)∵g(x)=e|x﹣2|+ex=,
①当x≥2时g(x)=ex﹣2+ex,∴g′(x)=ex﹣2+ex>0,
∴y=g(x)在[2,+∞)上为增函数,
②当x<2时g(x)=e2﹣x+ex,
则g′(x)=﹣e2﹣x+ex,令g′(x)=0得到x=1,
(ⅰ)当x<1时g′(x)<0,
∴y=g(x)在(﹣∞,1)上为减函数。
(ⅱ) 当1≤x<2时g′(x)>0,
∴y=g(x)在(1,2)上为增函数,
综上所述:y=g(x)的增区间为[1,+∞),减区间为(﹣∞,1),
(3)∵|f1(x)﹣f2(x0)|<1,
∴f2(x0)﹣1<f1(x)<f2(x0)+1
∴∃x0∈[0,1]对∀x∈[0,1],f2(x0)﹣1<f1(x)<f2(x0)+1成立。
即:
①当b≥0时,f2(x)为增函数或常数函数,
∴当x∈[0,1]时,
∵,
∴f2(x)min﹣1=f2(0)﹣1=0<f1(x)min恒成立。
,,
∴eb+1>e1﹣a
∴a>1﹣ln(eb+1)
∵
∴
∴
∴eb+1>ea
∴a<ln(eb+1)
∵
∴
综上所述:a∈(1﹣ln(eb+1),ln(eb+1))
②当b<0时,f2(x)在[0,1]上为减函数,
∴
∵
∴f2(x)min﹣1<f1(x)min恒成立。
∴
∴a>1﹣ln2
∴,
,。
∴2>ea
∴a<ln2
∴
综上所述:∴a∈(1﹣ln2,ln2)
由①②得当b≥0时,a∈(1﹣ln(eb+1),ln(eb+1));
当b<0时,a∈(1﹣ln2,ln2)。
知识点
定义函数,若存在常数C,对任意的,存在唯一的,使得,则称函数在D上的均值为C,已知,则函数上的均值为( )
正确答案
解析
,从而对任意的,存在唯一的,使得为常数。充分利用题中给出的常数10,100。
令,当时,,
由此得故选C。
知识点
对于任意,函数的反函数的图像经过的定点的坐标是______________。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数,函数是函数的导函数。
(1)若,求的单调减区间;
(2)若对任意,且,都有,求实数的取值范围;
(3)在第(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数,使得对任意时恒成立,求的最小值及相应的值。
正确答案
见解析
解析
解:(1)当时,,
由解得
当时函数的单调减区间为;
(2)易知
依题意知
因为,所以,即实数的取值范围是 ;
(3)解法一:易知,.
显然,由(2)知抛物线的对称轴
①当即时,且
令解得
此时取较大的根,即
,
②当即时,且
令解得
此时取较小的根,即
, 当且仅当时取等号
由于,所以当时,取得最小值
解法二:对任意时,“恒成立”等价于“且”
由(2)可知实数的取值范围是
故的图象是开口向上,对称轴的抛物线
①当时,在区间上单调递增,
∴,
要使最小,只需要
若即时,无解
若即时,
解得(舍去) 或
故(当且仅当时取等号)
②当时,在区间上单调递减,在递增,
则
要使最小,则即
解得(舍去)
或(当且仅当时取等号)
综上所述,当时,的最小值为.
知识点
已知均为正数,且,求的最小值,并指出取得最小值时的值。
正确答案
见解析。
解析
因为,所以,
因为为正数,所以由柯西不等式得,
当且仅当等式成立。
所以,
所以的最小值是,
此时。
知识点
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