函数的基本性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）

A0

B

C

D

正确答案

C

解析

B

由得关于对称，

而也关于对称，

∴对于每一组对称点，

∴，故选B．

考查方向

本题主要考查了函数图象的对称性等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据已知条件判断出函数的对称中心，再利用对称性即可求出的值。

易错点

不能由判断出函数的对称性导致出错。

知识点

函数单调性的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

10．设为，的反函数，则的最大值为．

正确答案

4

解析

由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为

考查方向

本题主要考查了反函数与原函数之间性质的区别于联系

解题思路

反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值.

易错点

求f(x)

知识点

函数单调性的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

根据条件知P, Q的横坐标互为相反数，不妨设P(－t, t3＋t2), B(t, f(t)(t＞0)

若t＜e，则f(t)＝－t3＋t2,

由∠POQ是直角得＝0，即－t2＋( t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，

即t4－t2＋1＝0.此时无解；

若t≥1，则f(t)＝alnx,.由于PQ的中点在y轴上，且∠POQ是直角，

所以Q点不可能在x轴上，即t≠1.

同理＝0，即－t2＋( t3＋t2)·alnx＝0，

整理后得实数a的取值范围是

考查方向

本题主要考查了分类讨论的思想,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数单调性、值域、奇偶性、向量等知识点交汇命题。

解题思路

利用垂直的条件即数量积为0是本题破题的关键，同时对变量进行分类讨论，转化为求函数的值域问题。

易错点

1、是以为直角顶点的直角三角形这个条件如何准确地转化。

2、分类讨论的标准，如何不重复、不遗漏。

知识点

函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.若都是正数，则的最小值为（）

A7

B8

C9

D10

正确答案

C

解析

考查方向

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

解题思路

利用基本不等式的性质、转化思想；综合法；不等式．即可得出

易错点

容易出现a,b相等的条件，选择答案D。

知识点

函数单调性的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设函数（e是自然对数的底数）.

27．若，求的单调区间；

28.若在内无极值，求a的取值范围；

29.设，求证：.

注：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

借助导函数的正负直接求出单调区间

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

根据在内无极值→在内单调→在恒正或者恒负，进而使用提参的方式得出结果

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

本题解题思路

借助第二问的结论使用数学归纳法证明结论

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设，则 .

在上是增函数，所以当时， .

即当时，..

.

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．下列函数中，既是偶函数，又在上是单调减函数的是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由函数的奇偶性及单调性的性质可知，B和D选项为偶函数，又知，D选项在上不是单调函数，所以此题选B.

考查方向

函数的单调性；函数的奇偶性

解题思路

根据函数单调性及奇偶性的性质，逐个选项判断

易错点

函数单调性判断错误，函数奇偶性判断错误

知识点

函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

是奇函数，但是在上是增函数，所以A错误；关于对称，所以它不是奇函数，B错误；定义域为，又因为，所以，是奇函数，又因为，当时，单调递减的，外层函数单调递增，所以在单调递减，C正确；，是奇函数，由对勾函数的性质可知函数在单调递增，D错误，所以选C选项.

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性和单调性.

解题思路

1.分别判断四个选项函数的奇偶性2.分别判断满足奇函数性质的函数的单调性.

易错点

本题学生们对一些复合函数的性质判断上容易出现错误.

知识点

函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则 ( )．

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设则为奇函数，所以

所以

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算性质等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

1.先将函数化简为两个奇函数和一个常数函数的和的形式；2.利用奇函数在对称的区间上单调性相同得到后即可得到。

易错点

1.不知道将函数转化为若干奇函数的和的形式，导致无法处理题中给出的函数；2.不知道是奇函数，导致找不到解决问题的突破点。

知识点

函数单调性的判断与证明函数性质的综合应用导数的几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3.设是定义在R上的函数,则“不是奇函数”的充要条件是（）

A

B

C

D

正确答案

C

考查方向

本题主要考查逆否命题的真假、奇函数的定义、全特称命题的否定等知识，意在考查考生的逻辑推理能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据奇函数的定义得到题中命题的逆否命题；

易错点

1.全称命题的否定形式写错；2.不能正确理解不是奇函数的条件；

知识点

充要条件的应用函数单调性的判断与证明

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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易错点

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