- 函数的基本性质
- 共1843题
2.已知c>b,且f(x)在两个区间[a,b],[c,d]上都是增函数,若补充条件使得f(x)在集合[a,b]∪[c,d]上也是增函数,则应补充的条件是( )
正确答案
解析
由题意,任取且x1<x2.
①若x1,x2∈[a,b],由f(x)在[a,b]是增函数,
必有f(x1)<f(x2)成立;
②若x1,x2∈[c,d],由f(x)在[c,d]是增函数,
必有f(x1)<f(x2)成立;
③若a≤x1≤b<c≤x2≤d,
由题设知f(x1)<f(b)且f(c)≤f(x2),
又∵f(b)<f(c),
∴f(x1)<f(x2).
综上所述,f(x)在上是增函数.
知识点
21. 已知函数 .
(Ⅰ)设函数,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若不等式≤
在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,求实数
的取值范围
正确答案
见解析
解析
(Ⅱ) ,定义域为(0,+∞),
①当 即
时,令
,
令 ,得
故
在
上单调递减,在
上单调递增
②当 即
时,
恒成立,
在(0,+∞)上单调递增。
综上,当时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
。
当时,
的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间。
(Ⅱ)由题意可知,不等式≤
在区间[1,e](e=2.71828…)的解集为非空集合,
即在[1,e]存在 使得
成立,
由(Ⅰ)中,则在[1,e]存在
使得
即函数在[1,e]上的最小值
由(Ⅰ)知,当时,
在[1,e]上单调递增,
当时
①当 即
时,
在[1,e]上单调递减,
②当即
时,
在[1,e]上单调递增,
,无解
③当即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增
此时
,不合题意。
综上可得,实数 的取值范围是
或
考查方向
解题思路
确定函数的定义域,利用导数求函数的单调区间,根据题意构造出恰当的不等式,进而求出参数的取值范围。
易错点
求导错误,构造函数不成功。
知识点
18.已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间和极值;
(Ⅱ)求证:当时,关于
的不等式
在区间
上无解.
(其中)
正确答案
(Ⅰ)函数的单调递增区间为
,
,
的单调递减区间为
(Ⅱ)见解析
解析
(Ⅰ)因为,
所以,
当时,
.
令,
得,
所以随
的变化情况如下表:
所以在
处取得极大值
,在
处取得极小值
.
函数的单调递增区间为
,
,
的单调递减区间为
.
(Ⅱ)证明:不等式在区间
上无解,
等价于在区间
上恒成立,
即函数在区间
上的最大值小于等于1.
因为,
令,得
.
因为时,所以
.
当时,
对
成立,
函数在区间
上单调递减,
所以函数在区间
上的最大值为
,
所以不等式在区间
上无解;
当时,
随
的变化情况如下表:
所以函数在区间
上的最大值为
或
.
此时,
,
所以
.
综上,当时,关于
的不等式
在区间
上无解。
考查方向
本题主要考察了用导数解决函数的单点区间和极值的问题,属于中档题,是高考的热点,解决此类题的关键:
1、(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数y′=f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2、当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值。
易错点
1、导数为零的点不一定是极值点 。
2、本题对k的分类讨论不全面导致错误。
知识点
21. 设函数f(x)=-mlnx,g(x)=
-(m+1)x.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当m≥0时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.
正确答案
(1)当时,函数
的单调增区间是
,无减区间;当
时,函数
的单调增区间是
,减区间是
;(2)一个.
解析
⑴解:函数的定义域为
,
,
当时,
,所以函数
的单调增区间是
,无减区间;
当时,
;
当时,
,函数
的单调递减;
当时,
,函数
的单调递增.
综上:当时,函数
的单调增区间是
,无减区间;当
时,函数
的单调增区间是
,减区间是
.⑵解:令
,问题等价于求函数
的零点个数,当
时,
,有唯一零点;当
时,
,当
时,
,函数
为减函数,注意到
,
,所以
有唯一零点;当
时,
或
时
,
时
,所以函数
在
和
单调递减,在
单调递增,注意到
,
,所以
有唯一零点;当
时,
或
时
,
时
, 所以函数
在
和
单调递减,在
单调递增,意到
,所以
,而
,所以
有唯一零点. 综上,函数
有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.
考查方向
本题考查了利用导数求含参数的函数极值,分类讨论,讨论点大体可以分成以下几类:
1、根据判别式讨论;
2、根据二次函数的根的大小;
3、定义域由限制时,根据定义域的隐含条件;
4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论;
5、多次求导求解等.
解题思路
1、求导,然后解导数不等式,求单调区间。
2、对参数分类讨论得结论。
易错点
第二问中的易丢对a的分类讨论。
知识点
21. 已知函数(a为实常数).
(I)若的单调区间;
(II)若,求函数
在
上的最小值及相应的x值;
(III)设b=0,若存在,使得
成立,求实数a的取值范围.
正确答案
解:(Ⅰ) 时,
,
定义域为,
在上,
,当
时,
当时,
所以,函数的单调增区间为
;单调减区间为
(Ⅱ)因为,所以
,
,
(i) 若,
在
上非负(仅当
时,
),
故函数在
上是增函数,
此时
(ii)若,
,
当时,
,
当时,
,此时
是减函数;
当时,
,此时
是增函数.
故
(Ⅲ) ,
不等式,即
可化为.
因为, 所以
且等号不能同时取,
所以,即
,因而
(
)
令(
),又
,
当时,
,
,
从而(仅当
时取等号),所以
在
上为增函数,
故的最小值为
,所以实数
的取值范围是
解析
将f(x)求导并整理,得到f(x)在区间上单调递减,然后分类讨论a的不同取值对单调区间的影响。利用函数单调性证明不等式恒成立的条件。解题步骤见答案。
考查方向
本题主要考查函数的单调性、奇偶性,导数的应用,参数的分类讨论等,常和不等式方程相结合考查,属于难题。
解题思路
利用导数求单调区间,利用函数与不等式关系求最大值最小值
易错点
不会利用导数求函数单调区间
知识点
22.已知函数,(
),函数
,(
).
(1)求函数的单调区间;
(2)若,
,求
取值范围.
正确答案
(1)①当时,
,所以
的增区间为
;
②当时,减区间为
增区间为
.
(2)
解析
(1)
①当时,
,所以
的增区间为
;
②当时,减区间为
增区间为
.
(2)由题意得恒成立,
构造函数,
显然时,
恒成立,下面考虑
时的情况.
,
,
当时,
,所以
在
为增函数,所以
,即
满足题意;
当时,
,又
,所以一定存在
,
,且
,所以
在
单调递减,所以
,
,不满足题意.综上,
取值范围为
.
考查方向
本题主要考查利用导数求函数的单调区间及解决不等式中的恒成立问题,综合性较强。
解题思路
(1)求出导数,再分类讨论求单调区间。
(2)构造函数把恒成立问题转化为求最值问题。
易错点
(1)第一问不能对b进行分类讨论。
(2)第二问不能转化为恒成立问题解决。
(3)分类讨论不严密。
知识点
21.已知函数 f(x)=ln(x+1)-x .
(1)求f(x)的单调区间,
(2)若k∈Z,且f(x-1)+x>k (1-3 )对任意x>1恒成立,求k的最大值,
(3)对于在区间(0,1)上的任意一个常数a,是否存在正数x。,使得ef(x0 ) < 1 -x
成立? 请说明理由.
正确答案
(1)f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是(0,+∞);
(2)4;
(3)存在正数x。
解析
考查方向
本题考查了利用导数求单调区间,导数与不等式综合应用求恒成立问题和存在性问题
解题思路
易错点
1、第二问中的易丢对K的分类讨论。
知识点
(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,都有
成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与曲线
相切?并说明理由.
正确答案
考查方向
易错点
1、第一问在对分类讨论求单调区间时由于比较繁琐而易出现错误。
知识点
21.
(1)当时,求
单调区间.
(2)若恒成立,求整数
的最小值.
正确答案
(1)增区间减区间
;
(2)
解析
试题分析:本题属于导数应用中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,
(1)直接按照步骤来求
(2)要注意对参数的讨论
(3)涉及恒成立问题,转化成求函数的最值,这种思路是一般解法,也常采用“分离参数法”.涉及对数函数,要特别注意函数的定义域.
(1)当时,
,
增区间
减区间
.
解:
令,
.
① 当时,
在
上单调递增.
又不成立.
② 当时,
,
令时,
时,
令则
在
为减函数.
又
时,
最小整数2
考查方向
本题考查了利用导数求含参数的函数单调区间,及恒成立问题的处理,最常用的方法是最值法和“分离参数法”
易错点
1、忽略函数的定义域导致出错。
2、第二问中的易丢对a的分类讨论。
知识点
21. 设函数,(
)
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若在
内有极值点,当
,
,
求证:.(
)
正确答案
(1)函数单调增区间为:,
;单调减区间为:
,
;
(2)略.
解析
试题分析:本题属于导数应用中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,
(1)直接按照步骤来求;(2)要注意对参数的讨论.
(Ⅰ)函数的定义域为
, 当
时,
,
令:,得:
或
,
所以函数单调增区间为:,
,得:
,
所以函数单调减区间为:,
(Ⅱ)证明:,
令:,
所以:,
,若
在
内有极值点,
不妨设,则:
,且
由得:
或
,
由得:
或
所以在
递增,
递减;
递减,
递增
当时,
;
当时,
所以:
,
设:,
,则
所以:是增函数,所以
又:
所以:
考查方向
本题考查了利用导数求含参数的函数极值,分类讨论,讨论点大体可以分成以下几类:
1、根据判别式讨论;
2、根据二次函数的根的大小;
3、定义域由限制时,根据定义域的隐含条件;
4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论;
5、多次求导求解等.
解题思路
本题考查导数的性质,解题步骤如下:
1、求导,然后解导数不等式,求单调区间。
2、对参数分类讨论证得结论。
易错点
第二问中的易丢对a的分类讨论。
知识点
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