函数单调性的判断与证明
共142题

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函数单调性的判断与证明
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题型：填空题

填空题 · 5 分

设变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为a，最小值为b，则a—b的值为 .

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

（1）当时，求的最大值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）如果对任意恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，

。

所以的增区间为，减区间委。

所以

（2）对函数，定义域为，

求导得：，

下面对参数进行讨论如下：

当时，，故在上单调递增；

当时，，故在上单调递减；

当时，令，解得，

则当，；当，

故在上单调递增；在上单调递减。

（3）不妨设：

①当时，，故在上单调递增；即恒成立；

构造函数，需证在上单调递增，即证

，即恒成立。

当时，则由得，不合题意，即，则；

根据二次函数开口方向向上，对称轴

所以只需可得

解得（舍去）；

②当时，，故在上单调递减；去绝对值整理，即有恒成立；

构造函数，需证在上单调递减，令

，得恒成立。

根据二次函数开口方向向下，对称轴

所以只需可得

解得（舍去）；

③当时，在上单调递增；在上单调递减；此时等价于恒成立或者恒成立，由前面的过程可知：或者，这与不符。故此种情况无解；

综上所述，实数的取值范围为。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（1）求k的值及的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.

正确答案

见解析

解析

（1）设陋热层厚度为，

由题设，每年能源消耗费用为

再由，得k=40，因此………………………………………………………3分

而建造费用为.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

……………………………………5分

（2）.

解得（舍去）……………………………………………………………………………8分

当时，

故时，的最小值点，

对应的最小值为.

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元. ………………………………………………12分

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________。

正确答案

解析

展开式的第r＋1项为，x的系数为，x9的系数为 ,则x的系数与x9的系数之差为0.

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”，给出下列函数：

①； ②；

③； ④，

其中“同簇函数”的是

A①②

B①④

C②③

D③④

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数和的图象关于轴对称，且.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，解不等式.

正确答案

见解析。

解析

（1）设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上…………………2分

代入，得 …………………4分

（2）由整理得不等式为

等价……………………6分

当，不等式为，解为………………7分

当，整理为,解为……………………9分

当，不等式整理为

解为.……………………11分

综上所述，当，解集为；当，解集为

；当，解集为.…………12分

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求实数a的最小值；

（3）若成立，求实数a的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的图象大致是

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数，若实数满足，则

正确答案

解析

略

知识点

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