函数单调性的判断与证明
共142题

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函数单调性的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数，其中。

（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（2）求的单调区间。

正确答案

见解析

解析

（1）解：当时，，。

由，得曲线在原点处的切线方程是。

（2）解：。

① 当时，。

所以在单调递增，在单调递减。

当，。

② 当时，令，得，，与的情况如下：

故的单调减区间是，；单调增区间是。

③ 当时，与的情况如下：

所以的单调增区间是，；单调减区间是。

综上，时，在，单调递减；在单调递增.

时，在单调递增，在单调递减；时，在，

单调递增；在单调递减。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

若直线通过点M（cosα，sinα），则（　　）

Aa2+b2≤1

Ba2+b2≥1

正确答案

解析

由题意可得（bcosα+asinα）2=a2b2，再利用（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α），化简可得。

解：若直线通过点M（cosα，sinα），则，

∴bcosα+asinα=ab，∴（bcosα+asinα）2=a2b2。

∵（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α）=（a2+b2），

∴a2b2≤（a2+b2），∴，

故选D。

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

.如图2，某简单几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）

正确答案

解析

知识点

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题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥，记，梯形面积为，

（1）求面积以为自变量的函数式；

（2）若，其中为常数，且，求的最大值。

正确答案

（1），

（2）

解析

（1）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为，

点的横坐标满足方程，解得，舍去。

所以。4分

由点在第一象限，得。

所以关于的函数式为，，

（2）解：由及，得，

记，

则，

令，得，

（1）若，即时，与的变化情况如下：

所以，当时，取得最大值，且最大值为，

（2）若，即时，恒成立，

所以，的最大值为，

综上，时，的最大值为；时，的最大值为

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

正确答案

解析

略

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是

正确答案

解析

略

知识点

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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知函数.

（1）求的值；

（2）求函数的最小正周期及单调递减区间。

正确答案

（1）

（2）；

解析

（1）…………4分

（2）由故的定义域为

因为

所以的最小正周期为

因为函数的单调递减区间为，

由

得

所以的单调递减区间为

………………………………13分

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（　　）

正确答案

解析

若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），即﹣x|x﹣a|+b=﹣x|x+a|﹣b恒成立，

亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）=2b恒成立，

要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|=2b=0，即a=b=0，

故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，

故选C。

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数则的零点是_____；的值域是_____。

正确答案

和，

解析

略

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

下列函数中，既是偶函数又在（0，＋）上单调递增的函数是

Ay＝cosx

By＝x3

Dy=

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断

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