- 奇函数
- 共13题
8.已知函数是奇函数,当时,,,则( )
正确答案
5
解析
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知识点
已知函数的定义域为,且对任意都有,
若时,,则的值为( )
正确答案
解析
由…①得关于直线对称,故,又由
得…②
由①②得,令,有
,选C
知识点
若奇函数的定义域为,则=
正确答案
0
解析
略
知识点
已知函数的定义域为(-1,1),且,对任意,都有,数列{}满足
(1)证明函数是奇函数;
(2)求数列{}的通项公式;
(3)令,证明:当时,.
正确答案
见解析
解析
(1)解:由于对任意都有
令,得
解得
令得
∴函数是奇函数,
(2)解:先用数学归纳法证明
①当n=1时,得结论成立。
②假设n=k时,结论成立,即
当时,由于
又
即时,结论也成立。
由①②知对任意
求数列的通项公式提供下面两种方法。
法一:
∵函数是奇函数
∴数列是首项为,公比为2的等比数列。
∴数列的通项公式为
法二:
∴数列是首项为,公比为2的等比数列。
∴数列的通项公式为
(3)证法一:由(2)知
当且时,
.
.
,
∴当时,.
∴当时,.
证法二:由(2)知,
,
.
(n∈N*,且)
.
下面用数学归纳法证明不等式成立。
①当n=2时,左边右边。
∴n=2时,不等式成立.
②假设时,不等式成立,即,
则n=k+1时,
左边
右边,
时,不等式也成立。
由①②知,当时,成立。
证法三:由(2)知,故对,有
.
由于对任意x>0,y>0,有,其中表示x与y的较大值。
于是对,有
.
故
.
知识点
设函数表示导函数。
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当为偶数时,数列{}满足,证明:数列{}中不存在成等差数列的三项;
(3)当为奇数时, 设,数列的前项和为,证明不等式对一切正整数均成立,并比较与的大小。
正确答案
见解析
解析
(1)定义域为,
当为奇数时,恒成立,
2分
当为偶数时,,
又,,
由,,
4分
(2) 当为偶数时,,
由已知,,
,,
是以2为公比的等比数列。
,.6分
数列{}中假设存在三项,,成等差数列,不妨设,
则,
又,,,
,,
等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,
假设不成立,数列{}中不存在成等差数列的三项9分
(3) 当为奇数时,
要证,即证,两边取对数,
即证10分
设,则,
,构造函数,
,,
,
即,,即.12分
,
14分
知识点
一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:,,,,,。
(1)从中任意拿取张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率;
(2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望。
正确答案
见解析。
解析
(1)为奇函数;为偶函数;为偶函数;
为奇函数;为偶函数; 为奇函数.
所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数,
一个为偶函数;故基本事件总数为 。
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为,
(2)可取1,2,3,4。 ,
;
故的分布列为
的数学期望为
知识点
如图,矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数,,的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为 .
正确答案
解析
由,得,得A点的横坐标为,故D点的横坐标为;B点纵坐标与A点纵坐标相同也为2,由得,得B、C的横坐标为4,由得C、D的纵坐标为。
知识点
若是上的奇函数,且在上单调递增,则下列结论:①是偶函数;②对任意的都有;③在上单调递增;④在上单调递增,其中正确结论的个数为( )
正确答案
解析
略
知识点
已知函数是R上的偶函数,若对于,都有,则的值为
正确答案
解析
由函数是上的偶函数及时得故选C.
知识点
已知函数f(x)=|x+l|,g(x)=2|x|+a。
(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);
(2)若存在x∈R,使得f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围。
正确答案
(1)(2)
解析
解析:(1)
所以解集为 5分
(2)即,使得成立,令,则
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所以。 10分
知识点
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