偶函数
共14题

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偶函数
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题型：简答题

简答题 · 13 分

对于定义域分别为的函数，规定：

函数

（1）若函数,求函数的取值集合；

（2）若，设为曲线在点处切线的斜率；而是等差数列，公差为1，点为直线与轴的交点，点的坐标为。求证：；

（3）若，其中是常数，且，请问，是否存在一个定义域为的函数及一个的值，使得，若存在请写出一个的解析式及一个的值，若不存在请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由函数

可得

从而

当时，

所以的取值集合为 …………………………….5分

（2）易知所以

所以

显然点在直线上，且

又是等差数列，公差为1

所以

故，又

所以

……………………………………………..8分

（3）由函数的定义域为，得的定义域为

所以，对于任意,都有

即对于任意,都有

所以，我们考虑将分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化

所以，令，且，即可 ………………………………..13分

又

所以，令，且，即可（答案不唯一）

知识点

偶函数

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是　　。

正确答案

解析

如图所示：

∵f（2x﹣1）＜f（）

∴﹣＜2x﹣1＜，

即＜x＜。

故答案为：（，）

知识点

偶函数

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，设，，则a、b、c的大小关系为

正确答案

解析

略

知识点

偶函数

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：

（1）是偶函数，即，

又恒成立即

当时

当时，，

综上：

（2）

是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足

在区间上是增函数在上是减函数。

令，当时；时，由于时，

是增函数记，故与在区间上

有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上

是减函数，其对称轴方程为。

知识点

偶函数

题型：填空题

填空题 · 5 分

设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________

正确答案

-1

解析

考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

知识点

偶函数

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为（） .

正确答案

解析

因为函数为你偶函数，所以，且函数在上递增。所以由得，即，所以不等式的解集为。

知识点

偶函数

题型：单选题

单选题 · 5 分

设是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则在区间内零点的个数为

A2013

B2014

C3020

D3024

正确答案

解析

略

知识点

偶函数

题型：单选题

单选题 · 5 分

偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且在x∈[0，1]时,f(x)=x ，则关于x的方程f(x)= ，在x∈[0，4]上解的个数是

正确答案

解析

由，知，周期为2，又函数为偶函数，所以，函数关于对称，在同一坐标内做出函数的图象，由图象知在内交点个数为个。选D.

知识点

偶函数

题型：单选题

单选题 · 5 分

设f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，l]时，f（x）=，则，，由小到大的排列顺序是（　　）

A＜＜

B＜＜

C＜＜

D＜＜

正确答案

解析

∵f（x）是以2为周期的偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（x）

∵当x∈[0，l]时，f（x）=，

∴=f（2﹣）=f（﹣）=f（）

=f（2）=f（﹣）=f（），

=f（2﹣）=f（﹣）=f（）

∵＜。

∴f（）＜f（）

∴f（）＜f（）＜f（）

知识点

偶函数

题型：填空题

填空题 · 4 分

定义在上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断:

①是周期函数；

②关于直线对称；

③是[0，1]上是增函数；

④在[1，2]上是减函数；

⑤.

其中正确的序号是 . （把你认为正确的序号都写上）

正确答案

①②⑤

解析

由得，，所以函数为周期为2的周期函数，所以①正确，且，所以⑤正确；因为函数为偶函数，所以图象关于轴对称，所以在上递减，所以③错误；同时有，所以有，所以函数关于对称，所以函数在为增函数，所以④错误，所以正确的序号为①②⑤

知识点

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