- 偶函数
- 共14题
对于定义域分别为的函数
,规定:
函数
(1)若函数,求函数
的取值集合;
(2)若,设
为曲线
在点
处切线的斜率;而
是等差数列,公差为1
,点
为直线
与
轴的交点,点
的坐标为
。求证:
;
(3)若,其中
是常数,且
,请问,是否存在一个定义域为
的函数
及一个
的值,使得
,若存在请写出一个
的解析式及一个
的值,若不存在请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由函数
可得
从而
当时,
当时,
所以的取值集合为
…………………………….5分
(2)易知所以
所以
显然点在直线
上,且
又是等差数列,公差为1
所以
故,又
所以
所以
……………………………………………..8分
(3)由函数的定义域为
,得
的定义域为
所以,对于任意,都有
即对于任意,都有
所以,我们考虑将分解成两个函数的乘积,而且这两个函数还可以通过平移 相互转化
所以,令,且
,即可 ………………………………..13分
又
所以,令,且
,即可(答案不唯一)
知识点
已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f(2x﹣1)<f()的x取值范围是 。
正确答案
解析
如图所示:
∵f(2x﹣1)<f()
∴﹣<2x﹣1<
,
即<x<
。
故答案为:(,
)
知识点
已知是定义在R上的周期为2的偶函数,当
时,
,设
,
,则a、b、c的大小关系为
正确答案
解析
略
知识点
已知函数。
(1)若是偶函数,在定义域上
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)当时,令
,问是否存在实数
,使
在
上是减函数,在
上是增函数?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)是偶函数,
即
,
又恒成立即
当时
当时,
,
当时,
,
综上:
(2)
是偶函数,要使
在
上是减函数在
上是增函数,即
只要满足
在区间上是增函数在
上是减函数。
令,当
时
;
时
,由于
时,
是增函数记
,故
与
在区间
上
有相同的增减性,当二次函数在区间
上是增函数在
上
是减函数,其对称轴方程为。
知识点
设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=_______▲_________
正确答案
-1
解析
考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。
知识点
已知定义域为的偶函数
在
上是减函数,且
,则不等式
的解集为() .
正确答案
解析
因为函数为你偶函数,所以,且函数在
上递增。所以由
得
,即
,所以不等式
的解集为
。
知识点
设是定义在
上的周期为2的偶函数,当
时,
,则
在区间
内零点的个数为
正确答案
解析
略
知识点
偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于x的方程f(x)= ,在x∈[0,4]上解的个数是
正确答案
解析
由,知
,周期为2,又函数为偶函数,所以
,函数关于
对称,在同一坐标内做出函数
的图象,由图象知在
内交点个数为个。选D.
知识点
设f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,l]时,f(x)=,则
,
,
由小到大的排列顺序是( )
正确答案
解析
∵f(x)是以2为周期的偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),f(x+2)=f(x)
∵当x∈[0,l]时,f(x)=,
∴=f(2﹣
)=f(﹣
)=f(
)
=f(2
)=f(﹣
)=f(
),
=f(2﹣
)=f(﹣
)=f(
)
∵<
。
∴f()
<f(
)
∴f()<f(
)<f(
)
知识点
定义在上的偶函数
在[—1,0]上是增函数,给出下列关于
的判断:
①是周期函数;
②关于直线
对称;
③是[0,1]上是增函数;
④在[1,2]上是减函数;
⑤.
其中正确的序号是 . (把你认为正确的序号都写上)
正确答案
①②⑤
解析
由得,
,所以函数
为周期为2的周期函数,所以①正确,且
,所以⑤正确;因为函数
为偶函数,所以图象关于
轴对称,所以在
上递减,所以③错误;同时有
,所以有
,所以函数
关于
对称,所以函数
在
为增函数,所以④错误,所以正确的序号为①②⑤
知识点
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