- 零向量与单位向量
- 共32题
已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,若向量=(2b-c,cosC),
=(a,cosA),且
∥
.
(1)求角A的大小;
(2)求函数y=sinB+sin(C-
)的值域.
正确答案
(1)因为向量=(2b-c,cosC),
=(a,cosA),且
∥
.
所以(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理得:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)
即2sinBcosA=sinB,所以cosA=.A是三角形的内角,所以A=
.
(2)因为函数y=sinB+sin(C-
)=
sinB+cosB=2sin(B+
),
而<B+
<
,所以函数y=2sin(B+
)的值域(1,2].
(I)已知=(1,2),求与
平行且反向的单位向量坐标;
(Ⅱ)已知||=5,|
|=4,
与
的夹角为60°,如果(k
-
)⊥(
+2
),求实数k的值.
正确答案
(I)设所求单位向量=λ
=(λ,2λ)(λ<0),
则||=
=|
λ|=1,解得λ=-
,
所以所求单位向量为(-,-
);
(Ⅱ)因为(k-
)⊥(
+2
),
所以(k-
)•(
+2
)=0,即k
a
2+(2k-1)•
-2
b
2=0,
所以25k+(2k-1)×5×4×-2×42=0,解得k=
.
与向量=(3,-4)垂直的单位向量是______.
正确答案
设这个向量为(a,b),
根据题意,有,
解可得,,或
,
故=(
,
)或(-
,-
).
已知向量=(1,0),
=(1,1),则
(Ⅰ)与2+
同向的单位向量的坐标表示为______;
(Ⅱ)向量-3
与向量
夹角的余弦值为______.
正确答案
(I)∵=(1,0),
=(1,1)
∴2+
=(2,0)+(1,1)=(3,1),|2
+
|=
∴与2+
同向的单位向量的坐标表示
=(
,
)
(II)设-3
与向量
夹角θ
∵=(1,0),
=(1,1),
∴-3
=(1,1)-(3,0)=(-2,1),
∴(-3
)•
=-2,|
-3
|=
=
,|
|=1
则cosθ==
=-
故答案为:(,
);-
在△ABC所在平面存在一点O使得+
+
=
,则面积
=______.
正确答案
∵+
+
=
,
∴+
=
,
设+
=
∴O是AD的中点,
要求面积之比的两个三角形是同底的三角形,
∴面积之比等于三角形的高之比,
∴比值是,
故答案为:.
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