数列与其它知识的综合问题
共8题

· 数列与其它知识的综合问题

数列与其它知识的综合问题
共8题

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题型：简答题

简答题 · 18 分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.

(1) 若具有性质. 且, , , , ，求；

(2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；

(3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

正确答案

(1)

∴

(2)设的公差为，的公差为，则

∴

∵,

而,

但

故不具有性质

(3) 充分性：若为常数列，设

则

若存在使得，

则,

故具有性质

必要性：若对任意，具有性质

则

设函数,

由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点

∴一定能找到一个，使得

∴

故

∴是常数列

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用等差数列与等比数列的综合数列与其它知识的综合问题

题型：填空题

填空题 · 15 分

设数列满足，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若，，证明：，.

正确答案

（I）由得，故

，，

所以

，

因此

．

（II）任取，由（I）知，对于任意，

，

故

．

从而对于任意，均有

．

由的任意性得． ①

否则，存在，有，取正整数且，则

，

与①式矛盾．

综上，对于任意，均有．

知识点

数列与不等式的综合数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 4 分

11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大

值为___________

正确答案

知识点

数列的极限数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知复数，其中，，，是虚数单位，且，。

（1）求数列，的通项公式；

（2）求和：①；②。

正确答案

见解析

解析

解析：（1），，。

由得，………………3分

数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，，，……………………6分

（2）①由（1）知，,数列是以为首项，公比为的等比数列。，………………9分

②当，时，

当，时，

又也满足上式

………14分

知识点

数列与其它知识的综合问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

若数列：（）满足（），则称为数列，记。

（1）写出一个满足，且的数列；

（2）若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；

（3）对任意给定的整数（），是否存在首项为0的数列，使得?若果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）

（2）必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以.

所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.

所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a2000—a1000≤1，

a2000—a1000≤1

……

a2—a1≤1

所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.

又因为a1=12，a2000=2011, ∴a2000=a1+1999.

故是递增数列.

综上，结论得证。

（3）令

∵

……

∴

∵

∴为偶数,

∴要使为偶数,

即4整除.

当时，数列的项满足= =0，

时，有

当的项满足，

当不能被4整除，此时不存在E数

知识点

数列与其它知识的综合问题

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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