等比数列
共373题

等比数列
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知m是两个正数2和8的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率是

A或

D或

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，数列{bn}满足，b1=2a1，

（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）求数列的前n项和Tn。

正确答案

见解析。

解析

（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，解得a1=1.

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an，即2an=an﹣1。

∴，

∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即，

（2）b1=2a1=2. …（5分）

∵，

∴，即，

∴是首项为，公差为1的等差数列，

∴，

（3）∵，

则，

所以，

即，①

则，②

②﹣①得，

故，

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 4 分

在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为___________.

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

在等比数列中，公比，前3项和为21，则 .

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

在等差数列中，a1 =3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1 =1，公比为q，且b2 +S2 =12, q=。

（1）求an与bn；

（2）设数列{Cn}满足cn=，求{}的前n项和Tn。

正确答案

见解析。

解析

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知a＞0，b＞0，则的最小值是（　　）

正确答案

解析

因为

当且仅当，且，即a=b时，取“=”号。

故选C。

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和。

（1）求数列的通项公式；（2）求；

（3）求满足的最大正整数的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）解：∵当时，，

∴.

∵，，

∴.

∴数列是以为首项，公比为的等比数列。

∴.

（2）解：由（1）得：，

∴

（3）解：

令，解得：.

故满足条件的最大正整数的值为.

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）记，求的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）设的公差为，则：，，

∵，，∴，∴，

∴。

（2）当时，，由，得。

当时，，，

∴，即，

∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

（3）由（2）可知：。

∴，

∴。

∴

。

∴，

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知,数列满足,数列满足；数列为公比大于的等比数列，且为方程的两个不相等的实根。

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）将数列中的第项，第项，第项，……，第项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1），

……………………………………………3分

因为为方程的两个不相等的实数根.

所以，……………………………………………………………4分

解得：，,所以：……………………………………………………6分

（2）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是 …………9分

………………………………12分

知识点

等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

等比数列满足的前n项和为，且

（1）求；

（2）数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1），所以公比 ……………………2分

得

……………………4分

所以 ……………………5分

……………………6分

（2）由（1）知

于是 ……………8分

假设存在正整数，使得成等比数列，则

， ……………………10分

整理得，

解得或

由，得，

因此，存在正整数，使得成等比数列 ……………………12分

知识点

等比数列的判断与证明

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