热门试卷

（1）∵，

∴,.

∵，，

∴

。

又，

∴数列是公比为3，首项为的等比数列。

（2）依据（1）可以，得。

于是，有，即。

又，则.

因此，数列的递推公式是。

（3）由（2）可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，。

故。

因此，，

，

将上述两个等式相减，得，

可化简为。

所以。

解析：（1）

，所以为等差数列。

（2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，

则，

于是得即

       由有即，从而.[来源:学科网ZXXK]

因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。

综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（1）由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1。

∴数列的通项公式为，（2分）

∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分）

又，∴，∴数列的通项公式为，（6分）

（2）由已知得：。

∴，

∴，（8分）

∴两式相减得

，（10分）

∴数列的前项和，（12分）

（1）解法一：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d。

因为a2，a3，a4成等比数列，所以

因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝，因为an＞0，所以d＝。

因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝，

解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，

则，

则，解得或（舍），所以。

解法三：因为a1，a2，a3成等差数列，则，

因为a2，a3，a4成等比数列，则

因为a3，a4，a5成等差数列，则，则

解得：或；当时，（与矛盾，故舍去），所以。

（2）证法一：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，

所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①  a＝a2na2n＋2，②；所以a＝a2n－2a2n，n≥2，③

由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，

可得a4＝。

所以。

①     当n＝2m，mN*时，

＝－＜0。

②     当n＝2m－1，mN*，m≥2时，

＝－＜0。

综上，对一切n∈N*，n≥2，有。          

证法二：①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列。

②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以，

由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，，

（1）设等差数列的公差为，则，解得，

所以.           

（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，

若，则由，得，此时，由，

解得，所以，同理；        

若，则由，得，此时，

另一方面，，所以，即，  

所以对任何正整数，是数列的第项，所以最小的公比。

所以，                 

（3）因为，得，而，

所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；

当且时，不全是正整数，不合题意。

而有解，所以有解，经检验，当，，时，都是的解，适合题意；        

下证当时，无解, 设，

则，

因为，所以在上递减，

又因为，所以恒成立，所以，所以恒成立，

又因为当时，，所以当时，无解.     

综上所述，的取值为             

（1） 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n－an，

所以  

又因为，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列。

所以an－×2n＝×（－1）n－1，即an＝[2n－（－1）n]，所以bn＝2n－（－1）n，  （5分）

（2） 假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即[2k－1－（－1）k－1]＋[2k＋1－（－1）k＋1]＝2[2k－（－1）k]，即2k－1＝4（－1）k－1。

① 若k为偶数，则2k－1＞0,4（－1）k－1＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列，（7分）

② 若k为奇数，则当k≥3时，2k－1≥4，而4（－1）k－1＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列。

综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列，（9分）

（3） 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2br，

即3＋2s－（－1）s＝2[2r－（－1）r]，即2s－2r＋1＝（－1）s－2（－1）r－3，（﹡） （10分）

① 若s＝r＋1，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1＝0，

右端（－1）s－2（－1）r－3＝（－1）s＋2（－1）s－3＝3（－1）s－3，

要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时，又s＞r＞1，且s，r为正整数，

所以当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列，（12分）

② 若s≥r＋2时，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1，

由（2）可知，r≥3，所以r＋1≥4，所以左端2s－2r＋1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”）；右端（－1）s－2（－1）s－3≤0.所以当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列，

综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列。