双曲线的定义及标准方程
共311题

· 双曲线的定义及标准方程

双曲线的定义及标准方程
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题型：单选题

单选题 · 5 分

若双曲线的左、右顶点分别为，点是第一象限内双曲线上的点，若直线的倾斜角分别为，且，那么的值是（）

正确答案

解析

∵双曲线的方程为，，∴双曲线的左顶点为，右顶点为，设，得直线的斜率，直线的斜率，∴①，∵是双曲线上的点，∴，得，代人①式得，∵直线的倾斜角分别为，所以，∴，∵是第一象限内双曲线上的点，易知均为锐角，∴，解得，故选D。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B，若=2，则双曲线的离心率为　　。

正确答案

解析

如图因为=2，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，

∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3。

故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒。

∴，e2=4⇒e=2。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

是双曲线左准线上一点,分别是其左、右焦点,与双曲线右支交于点Q,且,则的值为（）

正确答案

解析

设Q的横坐标为x,因为得x=,由双曲线的第二定义得.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

由曲线围成的图形的面积为_______。

正确答案

解析

解析：围成的图形如图，面积为

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点。

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：B、P、N三点共线；

（3）求面积的最小值。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）易得双曲线方程为

（2）由（1）可知得点设直线L的方程为：

由：可得

设

所以所以

因为

所以向量共线。所以B， P，N三点共线

（3）因为直线L与双曲线右支相交于M，N

所以所以

令

由

当时，三角形BMN面积的最小值为18

知识点

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