双曲线的定义及标准方程
共311题

· 双曲线的定义及标准方程

双曲线的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 10 分

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0 ≤ α < π）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ。

（1）求直线 l 与曲线C的平面直角坐标方程；

（2）设直线 l 与曲线C交于不同的两点A、B，若，求α的值。

正确答案

见解析

解析

（1）直线普通方程为

曲线的极坐标方程为，则

…………5分

（2）将代入曲线

…………7分

……9分

或 …………10分

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过右焦点作斜率为的直线交曲线于、两点，且，又点关于原点的对称点为点，试问、、、四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意可得圆的方程为，

∵直线与圆相切，∴，即， --------2分

又，及，得，所以椭圆方程为。------4分

（2）因直线过点，且斜率为，故有

联立方程组，消去，得-----------6分

设、，可得，于是.

又，得即-----------8分

而点与点关于原点对称，于是，可得点

若线段、的中垂线分别为和，，则有

联立方程组，解得和的交点为-----------10分

因此，可算得

所以、、、四点共圆，且圆心坐标为半径为-----12分

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

正确答案

解析

以为直径的圆与线段有两个不同的交点，所以圆的半径大于点到的距离，且小于的长.故，解得.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 .

正确答案

解析

设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点，所以OE为三角形FPM的中位线，所以PM=2OE=，所以PF=3,EF=,又FE为切线，所以有，所以。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 .

正确答案

解析

设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点，所以OE为三角形FPM的中位线，所以PM=2OE=，所以PF=3,EF=,又FE为切线，所以有，所以。

知识点

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