热门试卷

（1）线段的垂直平分线方程为，

线段的垂直平分线方程为，

所以外接圆圆心，半径，

圆的方程为，

设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，

所以。

当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则

，解得，

综上，直线的方程为或，

（2）直线的方程为，设，

因为点是线段的中点，所以，

又都在半径为的上，

所以即

因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，

为半径的圆有公共点，

所以，

又，

所以对]成立。

而在[0，1]上的值域为[，10]，

所以且，

又线段与圆无公共点，所以对成立，即.

故的半径的取值范围为。

解法一：

（1）

如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=.

设点B的坐标为(a,b)，则k BC=

k AB=

解得a=80，b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

（2）设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60)。

由条件知，直线BC的方程为，即

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，

即.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.

解法二:

（1）

如图，延长OA, CB交于点F.

因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.

因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.

CF=,从而.

因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，

又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半

径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60)。

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，

故由（1）知，sin∠CFO =所以.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以即解得

故当d=10时,最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.