热门试卷

（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，

圆心到直线的距离为，

，同理，                            

（2）由题知，直线关于原点对称，

因为圆的圆心为原点，

所以，

故四边形为平行四边形．

易知，点在对角线上．

联立解得，

由得

，

所以，

于是，

因为，

所以四边形为正方形．                             

（3）证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为．

当直线的斜率不存在时，

设直线、的方程为，

因为在椭圆上，

所以，

由四边形为正方形，易知，，

直线、的方程为，

正方形的面积．                      

当直线的斜率存在时，

设直线、的方程分别为，

显然．

设，

联立得，

所以

代人，得

，

同理可得

，

因为为正方形，

所以

解得

因为，所以，

因此，直线与直线关于原点对称，

所以原点为正方形的中心

（由知，四边形为平行四边形）

由为正方形知，

即

代人得，解得（注：此时四边形为菱形）

由为正方形知，

因为直线与直线的距离为，

故

但，

由得

即，与矛盾．

所以，这与矛盾．

即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形．

综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为．