- 函数的周期性
- 共47题
8．设
A是减函数，且
B是增函数，且
C是减函数，且
D是增函数，且
正确答案
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
14． 已知
正确答案
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
9.定义在R上的函数满足f(x)= 
正确答案
0
解析
由已知,得f(-1)=log22=1,f(0)=log21=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,…,故当x=1,2,3,4,0,…时,f(x)的取值依次是-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,…,则f(x)是以6为周期的函数,故f(2016)=f(0)=0.
知识点
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，并满足f(x－4)=－f(x)且在[0，2]上是增函数，给出下列结论：
（1）若0<x1<x2<4，且x1+x2=4，则f(x1)+f(x2)>0；
（2）若0<x1<x2<4，且x1+x2=5，则f(x1)>f(x2)；
（3）若方程f(x)=m在[－8，8]内恰有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=±8.
其中结论正确的有（ ）
正确答案
解析
∵f(x－4)=－f(x)，∴f(x－8)=－f(x－4)=f(x)，∴f(x)的周期为8.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(x)关于原点对称.
∵f(x－4)=－f(x)，∴f(x－4)=f(－x)
∴f(x)关于x=－2对称.
由f(x)关于原点对称，∴f(x)也关于x=2对称.
由f(x)在[0，2]上是增函数，且f(0)=f(4)=0，则可以画出草图为
（1）若0<x1<x2<4，且x1+x2=4，则可得到x1，x2关于x=2对称，由图可知f(x1)>0，f(x2)>0，所以f(x1)+f(x2)>0，故(1)正确.
（2）若0<x1<x2<4，且x1+x2=5，则可得x2到x=2的距离比x1到x=2的距离要远，由图象可得f(x1)>f(x2)，故(2)正确.
（3）如图所示，若m>0，则两个根关于x=－6对称，两个根关于x=2对称，所以有x1+x2+x3+x4=－8.若m<0，则两个根关于x=－2对称，两个根关于x=6对称，所以有x1+x2+x3+x4=8，故(3)也正确.本题答案为D.
知识点
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，并满足f(x－4)=－f(x)且在[0，2]上是增函数，给出下列结论：
（1）若0<x1<x2<4，且x1+x2=4，则f(x1)+f(x2)>0；
（2）若0<x1<x2<4，且x1+x2=5，则f(x1)>f(x2)；(3)若方程f(x)=m在[－8，8]内恰有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=±8.
其中结论正确的有（ ）
正确答案
解析
∵f(x－4)=－f(x)，∴f(x－8)=－f(x－4)=f(x)
∴f(x)的周期为8.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)关于原点对称.
∵f(x－4)=－f(x)，∴f(x－4)=f(－x)
∴f(x)关于x=－2对称.
由f(x)关于原点对称，∴f(x)也关于x=2对称.
由f(x)在[0，2]上是增函数，且f(0)=f(4)=0，则可以画出草图为
（1）若0<x1<x2<4，且x1+x2=4，则可得到x1，x2关于x=2对称，由图可知f(x1)>0，f(x2)>0，所以f(x1)+f(x2)>0，故（1）正确.
（2）若0<x1<x2<4，且x1+x2=5，则可得x2到x=2的距离比x1到x=2的距离要远，由图象可得f(x1)>f(x2)，故（2）正确.
（3）如图所示，若m>0，则两个根关于x=－6对称，两个根关于x=2对称，所以有x1+x2+x3+x4=－8.若m<0，则两个根关于x=－2对称，两个根关于x=6对称，所以有x1+x2+x3+x4=8，故（3）也正确.本题答案为D.
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