- 有穷数列和无穷数列
- 共681题
已知 a1=3，a2=6，且 an+2=an+1-an，则a2009=______．
正确答案
-6
解析
解：由条件an+2=an+1-an可得：an+6=an+5-an+4
=（an+4-an+3）-an+4=-an+3=-（an+2-an+1）
=-[（an+1-an）-an+1]=an，
于是可知数列{an}的周期为6，
∴a2009=a5，又a1=3，a2=6，
∴a3=a2-a1=3，a4=a3-a2=-3，
故a2009=a5=a4-a3=-6．
故答案为：-6．
已知数列{an}中，
正确答案
λ＞-3
解析
解：∵an=n2+λn①，
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）②
②-①得an+1-an=2n+1+λ．
由已知，数列{an}为单调递增数列，
则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，
易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，
所以λ＞-3．
故答案为：λ＞-3．
已知数列{an}的前n项和为Sn，函数f（x）=
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f‘（x）=px2-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=
由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．
（2）函数y=2px2-qx+q-f′（x）=px2+px，
点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．
再由a1 =1可得 p=1，故an=n．
综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．
解析
解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f‘（x）=px2-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=
由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．
（2）函数y=2px2-qx+q-f′（x）=px2+px，
点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．
再由a1 =1可得 p=1，故an=n．
综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．
设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2+n+1，n∈N+．
（1）求a1及an；
（2）判断数列{an}是否为等差数列？并说明理由．
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=S1=2+1+1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2（n-1）2+（n-1）+1]=4n-1，
∴
（2）∵an=4n-1对于n=1时不适合，∴数列{an}不是等差数列，
而只是从n≥2时是等差数列．
解析
解：（1）当n=1时，a1=S1=2+1+1=4；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2（n-1）2+（n-1）+1]=4n-1，
∴
（2）∵an=4n-1对于n=1时不适合，∴数列{an}不是等差数列，
而只是从n≥2时是等差数列．
设数列{an}，a1=1，前n项和为Sn，若Sn+1=3Sn（n∈N*），则数列{an}的第5项是（ ）
A81
B
C54
D162
正确答案
解析
解：∵a1=1，前n项和为Sn，Sn+1=3Sn（n∈N*），
∴数列{Sn}是等比数列，
∴Sn=1×3n-1=3n-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2•3n-2．
∴a5=2×33=54．
故选：C．
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