- 换底公式的应用
- 共23题
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题型:填空题
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设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R。
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若f(x)存在极点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;
(III)设a>0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.
正确答案
(Ⅰ)解:由,可得.
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为.
(2)当时,令,解得,或.
当变化时,,的变化情况如下表:
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知,且,由题意,得,即,
进而.
又
,且,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足 ,且,因此,所以;
(Ⅲ)证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况同理:
(1)当时,,由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此
,所以.
(2)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,,
所以在区间上的取值范围为,因此
.
(3)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,,
所以在区间上的取值范围为,因此
.
综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
知识点
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题型:简答题
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19.已知向量函数的两条相邻对称轴间的距离为
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当时,若,求的值.
正确答案
(1)
由得
单调递增区间是
(2)
故
所以
解析
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知识点
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题型:填空题
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5.如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为________
正确答案
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知识点
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