热门试卷

设=(x，y)，（2分）

∵⊥，∴x-y=0（4分）

又||=2，则  ，

解得或（10分）

∴=(，)或=(-，-)．（12分）

（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t得普通方程为 y=2x+2．

由曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程为  x2=2y．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由  消去y得  x2-4x-4=0，

∴x1+x2=4，x1•x2=-4，∴y1y2=•=4，∴•=x1x2+y1y2=0．

解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有

=，

化简得抛物线C1的方程为：x2+y2-2xy-4x-4y=0．

令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，

所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4）和（4，0）．

点F（，）到l1：x+y+=0的距离为=2，

所以C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，

设直线l2的方程为y=k（x-m），代入y2=4x得

y2-y-4m=0，可得y1y2=-4m．

由=λ，得（m-x1，-y1）=λ（x2-m，y2），可得λ=-，

而N（-m，0），可得-λ=（x1+m，y1）-λ（x2+m，y2）=（x1-λx2+（1-λ）m，y1-λy2）

∵=（2m，0），

∴•（-λ）=2m[x1-λx2+（1-λ）m]=2m[+-+（1+）m]

=2m（y1+y2）•=2m（y1+y2）•=0

∴对任意的λ满足=λ，都有⊥（-λ）．

（Ⅰ）：由=t+(1-t)(t∈R)

知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，

故点C的轨迹方程是：y+3=(x-1)即y=x-4（3分）

（Ⅱ）由⇒(x-4)2=4x⇒x2-12x+16=0（5分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1x2=16x1+x2=12（6分）

∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16（8分）

∴x1x2+y1y2=0故⊥（10分）

（Ⅲ）∵x1+x2=12，∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4

∴AB的中点C的坐标为（6，2）．

又∵⊥，∴|OC|=2为圆的半径．

∴所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40（14分）