数量积判断两个平面向量的垂直关系
共499题

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题型：简答题

简答题

已知向量=（a+c，b），=（a-c，b-a），且⊥，其中A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边．

（1）求角C的大小；

（2）求sinA+sinB的取值范围．

正确答案

（1）由⊥得•=0得（a+c）（a-c）+b（b-a）=0⇒a2+b2-c2=ab

由余弦定理得cosC===

∵0＜C＜π∴C=

（2）∵C=∴A+B=

∴sinA+sinB=sinA+sin（-A）=sinA+sincosA-cossinA

=sinA+cosA=（sinA+cosA）

=sin（A+）

∵0＜A＜∴＜A+＜

∴＜sin（A+）≤1∴＜sin（A+）≤

即＜sinA+sinB≤．

题型：填空题

填空题

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，-1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=______．

正确答案

根据题意，⊥⇒cosA-sinA=0⇒A=，

由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，

又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，

化简可得，sinC=sin2C，

则C=，

则B=，

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知=（cosθ，2），=（，sinθ）．

（1）当∥，且θ∈（，）时，求cosθ-sinθ的值；

（2）若⊥，求+的值．

正确答案

（1）∵∥，∴sinθcosθ=．

∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×=，

∵θ∈(，)，∴sinθ＞cosθ，

∴cosθ-sinθ=-．

（2）∵⊥，∴cosθ+2sinθ=0．

∴cosθ=-10sinθ．

∴+===

===．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m=（1，1-sinA），n=（cosA，1），且m⊥n．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若b+c=a，求sin（B+）的值．

正确答案

（1）由题意知，⊥，∴•=0，即cosA+1-sinA=0．（2分）

∴sinA-cosA=1，即sin（A-）=．（5分）

∵0＜A＜π，∴-＜A-＜，∴A-=，即A=．（6分）

（2）∵b+c=a，由正弦定理得，sinB+sinC=sinA=．（8分）

∵B+C=，∴sinB+sin（-B）=．化简得sinB+cosB=，

即sin（B+）=．（12分）

题型：填空题

填空题

已知向量=(sinx，cosx)，=(-1，2)，且⊥，则=______．

正确答案

∵⊥

∴•=-sinx+2cosx=0，即tanx=2

∴===

故答案为

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