数量积判断两个平面向量的垂直关系
共499题

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数量积判断两个平面向量的垂直关系
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题型：简答题

简答题

已知钝角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且有(a-c)cosB=bcosC，

（1）求角B的大小；

（2）设向量=(cos2A+1，cosA)，=(1，-)，且⊥，求tan(+A)的值．

正确答案

（1）∵(a-c)cosB=bcosC，

由正弦定理得：(sinA-sinC)cosB=sinBcosC

∴sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC即sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

∴sinAcosB=sin(B+C)

因为在△ABC中sin（B+C）=sinA则sinAcosB=sinA

∴cosB=，B=

（2）∵⊥∴•=0即cos2A+1-cosA=0

∴2cos2A-cosA=0即2cosA(cosA-)=0

∵cosA≠0∴cosA=

由sin2A+cos2A=1，sinA＞0

∴sinA=，tanA=则tan(A+)===7

题型：简答题

简答题

已知向量=(-1，2)，=(3，m)（O为坐标原点）．

（1）若⊥，求实数m的值；

（2）若O、A、B三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．

正确答案

（1）∵=-，∴=(4，m-2)．

由⊥，得•=0，即（-1）×4+2×（m-2）=0，∴m=4．

（2）由O、A、B三点能构成三角形，得向量与不平行

∴（-1）×m-2×3≠0，即m≠-6．

故当实数m≠-6时，O、A、B三点能构成三角形．

题型：简答题

简答题

已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量=（，-1）

（1）若⊥，求θ的值；

（2）若|2-|＜m恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）∵=（cosθ，sinθ），=（，-1），⊥，

∴cosθ-sinθ=0，变形得：tanθ=，

又θ∈[0，π]，

则θ=；

（2）∵2-=（2cosθ-，2sinθ+1），

∴|2-|2=（2cosθ-）2+（2sinθ+1）2=8+8（sinθ-cosθ）=8+8sin（θ-），

又θ∈[0，π]，

∴θ-∈[-，]，∴-≤sin（θ-）≤1，

∴|2-|2的最大值为16，

∴|2-|的最大值为4，

又|2-|＜m恒成立，

所以m＞4．

题型：简答题

简答题

已知A（2，3），B（5，4），C（7，8）

（1）若=+λ，(λ∈R)，试求当λ为何值时，点P在第三象限内．

（2）求∠A的余弦值．

（3）过B作BD⊥AC交于点D，求点D的坐标．

（4）求S△ABC．

正确答案

（1）设P（x，y），=(x-2，y-3)，=(3，1)，λ=(5λ，5λ)，

∵=+λ，(λ∈R)，

∴，即，

∵点P在第三象限内，

∴，解得：λ＜-1．

（2）∵=(3，1)，=(5，5)，

∴cosA=|| =．

（3）利用A（2，3），C（7，8）求出直线AC的表达式，

可用直线表达式y=kx+b，A、C两点代进去求出．

得k=1，b=1，

直线AC的表达式为y=x+1．

也由此知AC的斜率为1，

又因为BD⊥AC，

所以知直线BD的斜率为k=-1，

又因为直线BD过点B（5，4），

所以可求得直线BD的表达式是y=-x+9

解方程组，得x=4，y=5′．

∴两直线的交点坐标为D（4，5）．

（2）根据两点间的距离公式d=，

得到AC=5，

BD=，

由（1）知BD⊥AC，

所以S△ABC=AC×BD=5××=5．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.=(1，1)，=(-sinBsinC，cosBcosC)，且⊥．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若a=1，b=c．求S△ABC．

正确答案

（1）∵⊥，∴-sinBsinC+cosBcosC=0，∴cos(B+C)=-，即∴cosA=．

∵A为△ABC的内角，∴0＜A＜π，∴A=．

（Ⅱ）若a=1，b=c．由余弦定理b2+c2-a2=2bc•cosA得 c2=1，

所以S△ABC=bc•sinA=c2=．

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