数量积判断两个平面向量的垂直关系
共499题

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数量积判断两个平面向量的垂直关系
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题型：简答题

简答题

已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），且⊥．

（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；

（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

正确答案

（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosx-y=0，

即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx

=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z

（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），

故f（）=1+2sin（A+）=3，解得sin（A+）=1

故可得A+=，解得A=，

由余弦定理可得22=b2+c2-2bccosA，

化简可得4=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=16-3bc，

解得bc=4，故△ABC的面积S=bcsinA=×4×=

题型：简答题

简答题

已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c，两向量=(tanB，-)，=(a2+c2-b2，ac)满足⊥．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求函数y=2sin2A+cos的最大值以及此时角A的大小．

正确答案

（Ⅰ）∵=(tanB，-)，=(a2+c2-b2，ac)，且⊥，

∴（a2+c2-b2）tanB-ac=0，即•tanB=，

又cosB=，tanB=，

∴sinB=，

∵B为锐角，∴B=；…（6分）

（Ⅱ）∵B=，∴A+C=，即C=-A，

则y=2sin2A+cos=2sin2A+cos（-2A）

=1-cos2A+cos2A+sin2A=sin2A-cos2A+1=sin（2A-）+1，…（9分）

∵＜A＜，

∴当2A-=时，即A=时，函数的最大值为2．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知=(cosx，cosx-sinx)，=(sinx+cosx，sinx)，且f（x）=•．

①将函数f（x）的表达式化为Asin（ωx+φ）+h的形式；

②若x∈[-，]，求函数f（x）的单调递增区间．

正确答案

①f(x)=•=cosx(sinx+cosx)+(cosx-sinx)sinx…（2分）⇒f(x)=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)=sin2x+cos2x…（4分）

⇒f(x)=2sin(2x+)…（6分）

②当2kπ-≤2x+≤2kπ+⇔kπ-≤x≤kπ+时，函数f（x）单调递增． …（9分）

又∵x∈[-，]，

∴函数f（x）的单调递增区间为：[-，]．…（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=( ， cosA+1 )，n=（sinA，-1），且m⊥n．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，cosB=，求b的值．

正确答案

满分（12分）．

（Ⅰ）由m⊥n，得m•n=0，即sinA-cosA-1=0．（3分）

所以2sin ( A- )=1，即sin ( A- )=．

因为0＜A＜π，所以A=．（6分）

（Ⅱ）由cosB=，得sinB=．（8分）

依正弦定理，得=，即=．（10分）

解得，b=．（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（a，），=（cosC，c-2b），且⊥．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）由题意⊥．可知：•=0，

即acosC+c=b，得sinAcosC+sinC=sinB．

又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．

∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=．

又0＜A＜π∴A=．

（Ⅱ）由正弦定理得：b==sinB，c=sinC，

l=a+b+c=1+(sinB+sinC)=1+(sinB+sin(A+B))

=1+2（sinB+cosB）

=1+2sin（B+）．

∵A=．

∴B∈(0，)，∴B+∈(，)，

∴sin（B+）∈(，1]．

故△ABC的周长l的范围为（2，3]．

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