数量积判断两个平面向量的垂直关系
共499题

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题型：简答题

简答题

已知向量=（cos，sin），=（cos，-sin），=（，-1），其中x∈R．

（I）当⊥时，求x值的集合；

（Ⅱ）求|-|的最大值．

正确答案

（I）由⊥⇒•=0，（2分）

即coscos-sinsin=0，得cos2x=0，（5分）

则2x=kπ+（k∈Z），∴x=+（k∈Z），

∴当⊥时，x值的集合为{x|x=+（k∈Z）}；（7分）

（Ⅱ）|-|2=（-）2=2-2+2=||2-2+||2，（9分）

又||2=（cos）2+（sin）2=1，||2=（）2+（-1）2=4，

•=cos-sin=2（cos-sin）=2cos（+），

∴|-|2=1-4cos（+）+4=5-4cos（+），（13分）

∴|-|2max=9，∴|-|max=3，

即|-|的最大值为3．（15分）

题型：简答题

简答题

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=(-1，1)，=(cosBcosC，sinBsinC-)，且⊥．

（1）求A的大小；

（2）现在给出下列三个条件：①a=1；②2c-(+1)b=0；③B=45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．

正确答案

（1）因为⊥，所以-cosBcosC+sinBsinC-=0，

所以cos（B+C）=-，

因为A+B+C=π，所以cos（B+C）=-cosA，

所以cosA=，A=30°．

（2）方案一：选择①②，可以确定△ABC，

因为A=30°，a=1，2c-（+1）b=0，

由余弦定理，得：12=b2+（b）2-2b•b•，

整理得：b2=2，b=，c=，

所以S△ABC=bcsinA=×××=．

方案二：选择①③，可以确定△ABC，

因为A=30°，a=1，B=45°，C=105°，

又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+sin60°cos45°=．

由正弦定理的c===，

所以S△ABC=acsinB=×1××=．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，面积为S△ABC，且=(b2+c2-a2，-2)，=(sinA，S△ABC)，⊥．

（1）求函数f(x)=4cosxsin(x-)在区间[0，]上的值域；

（2）若a=3，且sin(B+)=，求b．

正确答案

（1）∵=(b2+c2-a2，-2)，=(sinA，S△ABC)，⊥，

∴•=（b2+c2-a2）sinA-2S△ABC=0，

又a2=b2+c2-2bccosA，即b2+c2-a2=2bccosA，且S△ABC=bcsinA，

∴2bccosAsinA-2×bcsinA=0，即2bccosAsinA-bcsinA=0，

∴cosA=，又A为三角形的内角，

∴A=，

函数f(x)=4cosxsin(x-)=4cosxsin（x-）

4cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx-2cos2x

=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-）-1，

∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，

∴-≤sin（2x-）≤1，

∴-2≤f（x）≤1，

则f（x）的值域为[-2，1]；

（2）由sin（B+）=，得到＜B+＜π，

∴cos（B+）=-=-，

∴sinB=[（B+）-]

=sin（B+）cos-cos（B+）sin

=×+×=，

又a=3，sinA=，

∴由正弦定理=得：b==1+．

题型：简答题

简答题

已知向量=(-1，sin)与向量=(，2cos)垂直，其中α为第二象限角．

（1）求tanα的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若b2+c2-a2=bc，求tan（α+A）的值．

正确答案

（1）∵=(-1，sin)，=(，2cos)，⊥

∴•=-+2sincos=0，即sinα=．（3分）

∵α为第二象限角，

∴cosα=-=-，tanα==-．（6分）

（2）在△ABC中，∵b2+c2-a2=bc，∴cosA==．（9分）

∵A∈（0，π），∴A=，tanA=1，（11分）

∴tan(α+A)==-．（14分）

题型：简答题

简答题

设=(2sinx，cos2x)，=(cosx，-1)，x∈[0，]．

（1）当⊥时，求x的值．

（2）若f(x)=•，求f（x）的最大值与最小值，并求出相应x的取值．

正确答案

（1）由⊥得•=0，（2分）

所以sin2x=cos2x，即tan2x=1（4分）

由于x∈[0，]，所以2x=，即：x=．（6分）

（2）f(x)=sin(2x-)，（2分）

当x=0时，2x-=-，ymin=-1；（5分）

当x=时2x-=，ymax=．（8分）

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