数量积判断两个平面向量的垂直关系
共499题

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题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．设向量=(sinA，cosB)，=(cosA，sinB)

（I）若∥，求角C；

（Ⅱ）若⊥，B=15°，a=+，求边c的大小．

正确答案

（I）∵∥

向量=(sinA，cosB)，=(cosA，sinB)

∴sinAsinB-cosAcosB=0

cos（A+B）=0，

∵0＜A+B＜180°，

∴A+B=90°，

∴C=180°-（A+B）=90°．

（Ⅱ）∵⊥

∴sinAcosA+sinBcosB=0

即sin2A+sin2B=0，

∵B=15°，

∴sin2A+sin30°=0，

sin2A=-，

∵0＜2A＜360°-2B=330°，

∴2A=210°，A=105°．

C=180°-15°-105°=60°．

根据正弦定理=⇒=⇒c=．

∵sin105°=sin(45°+60°)=，

∴c==2．

题型：简答题

简答题

已知△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若直线l1：（a2+c2-ac）x+by+2=0与l2：bx+y+1=0互相平行（b≠2）．

（1）求角B的大小；

（2）若a=4，b=4，当向量+与向量m+垂直时，求实数m的值．

正确答案

（1）∵l1∥l2，

∴a2+c2-ac=b2．即a2+c2-b2=ac（2分）

由余弦定理，得cosB=

∴cosB=．∵0°＜B＜180°

∴B=60°．…（2分）

（2）在△ABC中，a=4，b=4

由正弦定理，得=

∴sinA=．

∵a＜b，∴A＜B=60°．

∴A=30°．…（2分）

∴C=90°．∴•=0．…（2分）

又+与m+垂直，

∴（+）•（m+）=0．

∴m++m•+•=0．…（2分）

即×m×16+48=0，

∴m=-12．（2分）

题型：简答题

简答题

已知向量=（cosα，1），=（-2，sinα），α∈(π，)，且⊥

（1）求sinα的值；

（2）求tan(α+)的值．

正确答案

（Ⅰ）由向量=（cosα，1），=（-2，sinα），α∈(π，)，且⊥．

得•=（cosα，1）•（-2，sinα）=0．

即-2cosα+sinα=0．

所以cosα=sinα．

因为sin2α+cos2α=1，

所以sin2α=．

因为α∈(π，)，

所以sinα=-．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得cosα=-．

则tanα=2.tan(α+)==-3．

题型：简答题

简答题

已知：向量=(1，-)，=(2sinx，2cosx)．

（1）若⊥，试求x的所有可能值组成的集合

（2）求证若不平行于，则(+)⊥(-)．

正确答案

（1）因为向量=(1，-)，=(2sinx，2cosx)，并且⊥，

所以2sinx-2cosx=0，整理可得：sin（x-）=0，

解得：x=kπ+，

所以x的所有可能值组成的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．

（2）由题意可得：（ +）•（ -）=

2，

因为向量=(1，-)，=(2sinx，2cosx)，

所以|

2|=4，|

2|=4，

所以：（ +）•（ -）=0，

所以（+）⊥（ -）．

题型：填空题

填空题

已知向量=（sinx，cosx），=（1，一2），且⊥，则tan(2x+)=______．

正确答案

∵⊥，∴•=0

∵向量=（sinx，cosx），=（1，一2），

∴sinx-2cosx=0

∴tanx=2，

∴tan2x===-

∴tan(2x+)====-

故答案为-

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