数量积判断两个平面向量的垂直关系
共499题

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数量积判断两个平面向量的垂直关系
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题型：简答题

简答题

已知向量=a=(cosα，sinα)，=b=（2cosβ，2sinβ），其中O为坐标原点，且≤α＜＜β≤．

（1）若⊥（-），求β-α的值；

（2）当•（-）取最小值时，求△OAB的面积S．

正确答案

（1）由⊥(-)得•(-)=0

即•-()2=0

又||=，||=2，＜，＞=β-α∴2•cos(β-α)-2=0cos(β-α)=∵≤α＜＜β≤π∴β-α=…（6分）

（2）由（1）知•(-)=2cos(β-α)-2∵≤α＜＜β≤π∴0＜β-α≤π

当β-α=π时，•(-)取最小值

此时S△OAB=•2•sinπ=…（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（a-2b，c），=（cosC，cosA），且⊥．

（1）求角C的大小；

（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．

正确答案

（1）∵⊥，∴•=（a-2b）cosC+cosA=0，

由正弦定理得（sinA-2sinB）cosC+sinCcosA=0，

即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC，

所以sin（A+C）=2sinBcosC，即sinB=2sinBcosC，

又∵sinB≠0，∴cosC=，

又C∈（0，π），∴C=；

（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，

即4=a2+b2-2abcos，∴a2+b2=4+ab≥2ab，

∴ab≤4，

∴S△ABC=absinC=ab≤，

当且仅当a=b=2时，△ABC的面积的取到最大值

题型：简答题

简答题

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2sin2+cos2C=1

（1）求角的C大小；

（2）若向量=(3a，b)，向量=(a，-)，⊥，(+)(-+)=-16，求a，b，c的值．

正确答案

（1）∵2sin2+cos2C=1，

∴cos2C=1-2sin2=cos(A+B)=-cosC，…（2分）

∴2cos2C+cosC-1=0，∴cosC=或-1．∵C∈（0，π），∴C=．…（4分）

（2）∵⊥，∴3a2-=0，即b2=9a2 ①．

又（+）•（-）=-16，∴-8a2-b2=-16，即a2+=2，②…（6分）

由①②可得a2=1，b2=9，∴a=1，b=3…（8分）

又c2=a2+b2-2abcosC=7，∴c=．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的外接圆的半径为，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量=(sinA-sinC，b-a)，=(sinA+sinC，sinB)，且⊥，

（I）求角C；

（II）求三角形ABC的面积S的最大值．

正确答案

（Ⅰ）∵⊥⇒•=0

∴(sinA-sinC)(sinA+sinC)+(b-a)sinB=0

且2R=2，由正弦定理得：()2-()2+(b-a)=0

化简得：c2=a2+b2-ab

由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC∴2cosC=1⇒cosC=

∵0＜C＜π，∴C=

（Ⅱ）∵a2+b2-ab=c2=（2RsinC）=6

∴6=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时取“=”）

S=absinC=ab≤

所以，Smax=，此时，△ABC为正三角形

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（sin2，1），=（-2，cos2A+1），且⊥．

（Ⅰ）求角A的度数；

（Ⅱ）当a=2，且△ABC的面积S=时，求边c的值和△ABC的面积．

正确答案

（Ⅰ）△ABC中，由=（sin2，1），=（-2，cos2A+1），且⊥，

可得 •=-2sin2+cos2A+1=cos（B+C）-1+cos2A+1=2cos2A-cosA-1=（2cosA+1）（cosA-1）=0，

∴cosA=- 或cosA=1（舍去），∴A=120°．

（Ⅱ）∵a=2，且△ABC的面积S==ab•sinC，由余弦定理可得 cosC=，

∴tanC=，∴C=30°，∴B=30．

再由正弦定理可得 =，即 =，解得c=2．

∴△ABC的面积S=ac•sinB=×2×2×=．

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