微积分基本定理
共280题

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题型：填空题

填空题

设函数f（x）=∫x2x（t-1）dt，则f′（x）=______．

正确答案

f（x）=∫x2x（t-1）dt==×[（2x-1）2-（x-1）2]=x2-x

∴f′（x）=3x-1．

题型：填空题

填空题

由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴所围成的封闭图形的面积为______．

正确答案

由题意令解得交点坐标是（1，1）

故由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴围成的图形的面积为：

∫01x3dx+∫12（2-x）dx=x4+（2x-x2） =+=．

故答案为：

题型：填空题

填空题

由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为______．

正确答案

由题意得：所求封闭图形的面积为

∫01（x2-x3）dx═（x3-x4）|01

=×1-×1=，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知F为抛物线C：y=x2的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C上的两点，且x1＜x2．

（1）若=λ(λ∈R)，则λ为何值时，直线AB与抛物线C所围成的图形的面积最小？该面积的最小值是多少？

（2）若直线AB与抛物线C所围成的面积为，求线段AB的中点M的轨迹方程．

正确答案

（1）由题知，抛物线C的焦点F(0，)，A(x1，)，B(x2，)，所以=(x1，-)，=(x2，-)．

因为=λ，所以=λ共线，即

x1(-)-x2(-)=0，

即(x2-x1)(x1x2+)=0．

因为x1＜x2，所以x1x2=-．（2分）

由题设条件x1＜x2知，直线AB的斜率k一定存在，且

k===x1+x2．（3分）

设直线AB的方程为y=kx+，则直线AB与抛物线C所围的面积

S=(kx+-x2)dx=(-x3+•x2+x)

=(-+•+x2)-(-+•+x1)

=-(-)+(-)+(x2-x1)

=(x2-x1)[-(+x2x1+)+(x2+x1)+]

=[-(x2+x1)2+x2x1+(x2+x1)+]

=[-k2-×+•k+]

=(k2+1)≥，

当且仅当k=0，即x1=-x2，即λ=-1时，Smin=．（5分）

（2）由题知A（x1，x12），B（x2，x22），且x1＜x2，则直线AB的斜率kAB===x1+x2．

设直线AB的方程为y-x12=k（x-x1），即y=（x1+x2）x-x1x2，

则直线AB与抛物线C所围的面积

S=[(x1+x2)x-x1x2-x2]dx

=(•x2-x1x2x-x3)=(x2-x1)3，

因为S=，所以(x2-x1)3=，得x2-x1=2．（8分）设M（x，y），则x==x1+1，

y===+2x1+2=(x1+1)2+1，

所以y=x2+1．

故点M的轨迹方程为y=x2+1．（10分）

题型：填空题

填空题

曲线y=x2，x=0，y=1，所围成的图形的面积可用定积分表示为______．

正确答案

作出对应的图形如图：

则两个图象的交点横坐标分别为0和1，

∴根据积分的几何意义可知，所围成的图形的面积可用定积分表示为：（1-x2）dx．

故答案为：（1-x2）dx．

题型：填空题

填空题

用max{a，b}表示a，b中两个数中的最大数，设f（x）=max{x2，}，(x≥)，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是______．

正确答案

联立方程，可得交点坐标为（1，1）

根据题意可得由函数y=f（x）的图象、x轴、直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积是

S=dx+x2dx=+=(1-)+(8-1)=

故答案为：

题型：填空题

填空题

直线y=kx（k＞o）与曲线y=x2围成图形的面积为，则k的值为______．

正确答案

先根据题意画出图形，得到积分上限为k，积分下限为0

直线y=kx与曲线y=x2所围图形的面积S=∫0k（kx-x2）dx

而∫0k（kx-x2）dx=（kx2-x3）|0k=k3-k3=k3=

∴解得k=2

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

在(3-2)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则xαdx=______．

正确答案

展开式共有12项

展开式的通项为Tr+1=311-r(-2)r x33-r6

当r=3，9时，为有理项

∴α==

∴则xαdx=x16dx=x76=

故答案为

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3-6x2+11x，其图象记为曲线C．

（1）求曲线C在点A（3，f（3））处的切线方程l；

（2）记曲线C与l的另一个交点为B（x2，f（x2）），线段AB与曲线C所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．

正确答案

解（1）∵函数f（x）=x3-6x2+11x，

∴f'（x）=3x2-12x+11，

f'（3）=2，又f（3）=6，

∴切线方程l为y-6=2（x-3），

即y=2x．

（2）曲线C与l的另一个交点为B（x2，f（x2）），

∴

得B（0，0）

∴S=(x3-6x2+11x-2x)dx=(x4-2x3+x2)|=

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2和g（x）=4-x，

（Ⅰ）解关于x的不等式|f′（x）|+|g（x）|＞6；

（Ⅱ）求由曲线y=f（x）和y=g（x）围成的封闭图形的面积．

正确答案

（Ⅰ）∵f′（x）=x，

∴要解的不等式可化为|x|+|x-4|＞6，

∴或或，

∴x＞5或x＜-1，

∴不等式的解集为（-∞，-1）∪（5，+∞）．

（Ⅱ）由消去y得：x2+2x-8=0解得x1=2和x2=-4

∴所求图形的面积S=[(4-x)-x2]dx=(4x-x2-x3)=18．

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