热门试卷

解：(Ⅰ)(ⅰ)由f(x)=x3-x得f′(x)=3x2-1=，

当x∈时，f′(x)＞0；

当x∈时，f′(x)＜0；

因此，f(x)的单调递增区间为，

单调递减区间为。

(ⅱ)曲线C在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，

即y=(3x12-1)x-2x13，

由得x3-x=(3x12-1)x-2x13，

即(x-x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1，

进而有

，

用x2代替x1，重复上述计算过程，

可得x3=-2x2和S2=；

又x2=-2x1≠0，

所以，

因此有。

(Ⅱ)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象为曲线C′，

类似于(Ⅰ)(ⅱ)的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C′与其在点P1(x1，g(x1))处的切线交于另一点P2(x2，g(x2))，曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3，g(x3))，线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S1，S2，则为定值．

证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，

故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至坐标原点，

因而不妨设g(x)=ax3+hx，且x1≠0，

类似(Ⅰ)(ⅱ)的计算可得，

故。

解：（1）（ⅰ）由f（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=，

当x∈时，f′（x）＞0；

当x∈时，f′（x）＜0；

因此，f（x）的单调递增区间为，

单调递减区间为。

（ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1，

即y=（3x12-1）x-2x13，

由得x3-x=（3x12-1）x-2x13，

即（x-x1）2（x+2x1）=0，解得x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1，

进而有

，

用x2代替x1，重复上述计算过程，

可得x3=-2x2和S2=；

又x2=-2x1≠0，

所以，

因此有。

（2）记函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象为曲线C′，

类似于（Ⅰ）（ⅱ）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1，曲线C′与其在点P1（x1，g（x1））处的切线交于另一点P2（x2，g（x2）），曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，g（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别别为S1，S2，则为定值．

证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，

故可将曲线y=g（x）的对称中心平移至坐标原点，

因而不妨设g（x）=ax3+hx，且x1≠0，

类似（1）（ⅱ）的计算可得，

故。

解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，

又已知f′（x）=2x+2，

∴a=1，b=2，  

∴f（x）=x2+2x+c，

又方程f（x）=0有两个相等实根，

∴判别式Δ=4-4c=0，即c=1，

故f（x）=x2+2x+1。

（2）依题意，有所求面积S=。

解：由f(0)=0得c=0，f′(x)=3x2+2ax+b，

由f′(0)=0得b=0，

∴f(x)=x3+ax2=x2(x+a)，

由[-f(x)]dx=得a=-3，

∴f(x)=x3-3x2。