- 概率与统计
- 共1631题
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
正确答案
知识点
18.（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
正确答案
知识点
7.将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有
正确答案
解析
将先后两次点数记为
考查方向
解题思路
列出所有基本事件空间以及发生事件的空间，利用比例解法求解。
易错点
列举事件的准确性。
知识点
5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
正确答案
解析
B
故选B．
考查方向
解题思路
从实际问题中抽出数学模型，再根据两个原理进行计算。
易错点
不能从实际问题中抽出数学模型导致出错。
知识点
19.(1)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男
(1)能否据此判断有97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5 — 7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6 - 8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率,
(3)现从选择做几何题的8名女生中
正确答案
（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；
（2）
（3）
解析
（1）由表中数据得K2的观测值
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为
设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
∴
考查方向
本题考查了独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．
解题思路
（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．
易错点
1、第一问中独立性检验知识不熟，公式不会应用；
2、第二问中几何概型转化成面积比
知识点
19．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量
（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
正确答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）2
解析
（I）依题意
由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：
（Ⅱ）记水电站年总利润为
由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台．
①安装1台发电机的情形：
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润
②安装2台发电机的情形：
当
因此
当
因此
所以
所以
③安装3台发电机的情形：
当
因此
当
此时
当
因此
所以
所以
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机．
考查方向
解题思路
（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．
易错点
第一问较简单，明确二项分布原理就不易出错，第二问分类出错
知识点
9．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人在同一个食堂就餐的概率是_________.
正确答案
解析
利用数字代表事件，数字1表示去了一餐厅，数字2表示去了二餐厅，每组数据先后表示甲、乙、丙三人的选择，则所有可能有：
111（都去一餐厅）， 112, 121, 211（有两个人去一餐厅）， 122，212, 221（有一个人去一餐厅），222（都去了二餐厅）共八种可能，而满足题设条件的只有两种可能，所以
考查方向
解题思路
本题考查了古典概型，宜采用列举法求解。为做到不重不漏，最好有一定的层次顺序。
易错点
本题必须注意列举的完备性，做到不重不漏，忽视则会出现错误。
知识点
6.在二项式（
A
B
C
D
正确答案
解析
展开式的通项为
∵前三项的系数成等差数列，
∴
当
考查方向
本题主要考查了二项式定理应用、等差数列、概率
解题思路
利用二项式定理求出项数N，然后利用不相邻求概率即可
易错点
1、二项式系数和项的系数弄混淆；
2不相邻问题
知识点
16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。 两人4局的得分情况如下：
（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ）如果
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出
正确答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
解析
试题分析：本题属于概率与统计的基本问题，题目的难点是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求,(2)要注意正确求出每个变量对应的概率，（3）要注意利用离散型随机变量的分布列的性质验证分布列的正确性。
（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件
由题意，得
所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为
（Ⅱ）解：由题意，
且
所以
所以
（Ⅲ）解：
考查方向
本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差，离散型随机变量的分布列大体有以下几类：
1．两点分布，
2．二项分布，超几何分布．
解题思路
本题考查离散型随机变量的分布列、期望与方差，解题步骤如下：
1．利用古典概型的概率公式进行求解；
2．写出随机变量的所有可能取值，分别求出每个变量对应的概率；
3．列表得到随机变量的分布列；
4．根据数学期望公式求其期望；
5．列出可能取值。
易错点
第二问中每个随机变量的概率不完全正确，导致结果错误。
知识点
18.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：
（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求
（Ⅱ）如果
（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出
正确答案
（Ⅰ）15
（Ⅱ）
（Ⅲ） 
解析
（Ⅰ）解：由题意，得
因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，
所以
又因为
所以
所以
（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足
记甲的4局比赛为
为
则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：
而事件
因此事件
（Ⅲ）解：
考查方向
解题思路
1、第一问由选取1局得分小于6分的概率不为零，可知x,y取值均为小于或等于５的自然数；结合乙的平均得分高于甲的平均得分确定的
2、第二问通过列举从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果可以找出满足题意的事件数目，最终求出其概率。
3、第三问通过平均分相同得出
易错点
不能从题目中提取出
知识点
4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有
A1
B
C
D
正确答案
解析
从袋中任取
考查方向
解题思路
先算出从所有球中选出两个球会出现的所有情况，再算出恰有一白一红球出现的所有情况。
易错点
组合数的计算容易出错。
知识点
18. 某卫视的大型娱乐节目现场，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类
（I）求某节目的投票结果获“通过”的概率；
（II）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为X，求X的分布列和数学期望.
正确答案
（1）
（2）2
解析
试题分析：本题属于离散型随机变量应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难
（Ⅰ）设“某节目的投票结果获“通过”为事件A，
则事件A包含该节目获2张“通过票”或该节目获3张“通过票”，
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为
且三人投票相互没有影响，∴某节目的投票结果是最终获“通过”的概率为：
（Ⅱ）所含“通过”和“待定”票票数之和
∴
考查方向
解题思路
本题考查离散型随机变量应用，解题步骤如下：
（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，由此能求出某节目的投票结果是最终获一等奖的概率．
（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
易错点
1、第一问中弄清事件类型
2、第二问中计算不正确得不到正确结论。
知识点
7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为___________
正确答案
解析
考查方向
解题思路
本题考查运用乘法原理求这2只球中没有黄球的概率，再利用互斥事件的性质求解。解题步骤如下：
易错点
本题必须注意审题，忽视则会出现错误。
知识点
23．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
正确答案
见解析
解析
(1)由已知，有
所以事件
（2）随机变量
所以随机变量
所以随机变量
考查方向
解题思路
1利用已知条件把“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会的组合数求出，进而求出概率
易错点
本题必须注意审题，否则求解错误。
知识点
3．书架上有
正确答案
解析
这是一个古典概率问题.概率值为一个分式.用列举法求解。分母是样本点总数,为：从5本书中任意抽取两本,总的基本事件总数为10个，分子为事件的样本点数,为：5本书中任意抽取两本数学书，其基本事件总数为6个，所以取出的两本书都是数学书的概率为
考查方向
解题思路
求解古典概型问题，关键是准确地计算出总的基本事件个数，和所要求的事件包含的基本事件个数。
易错点
对基本事件总数不能准确地计算出。
知识点
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