热门试卷

f(x)＝，f[f(－4)]＝.

本试题主要是考查了函数的 解析式的求解和运用。先分析f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.

又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．

∴ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．

故(b－1)2－4a×0＝0，即b＝1，进而得到a的值，得到解析式，并求解函数值。

解：∵f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.

又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．

∴ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．

故(b－1)2－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：

a＝，从而f(x)＝＝，

∴f(－4)＝＝4，f(4)＝＝，即f[f(－4)]＝.

（1）依题意，函数f（x）=2（m+1）x2+4mx+2m-1．

函数f（x）有两个零点，

得即…3

解得m＜1且m≠-1…6

∴函数f（x）有两个零点时，m的取值范围为（-∞，-1）∪（-1，1）…7

（2）若函数f（x）只有一个零点，则m+1=0或…9

解得 m=-1或m=1…11

若函数f（x）有两个零点，则由（1）知m＜1且m≠-1…12

综上，函数f（x）至少有一个零点，m的取值范围为m≤1．…14

∵f（x）=x2+3（m+1）x+n的零点是1和2

∴f（1）=12+3（m+1）+n=0，即3m+n+4=0 ①，

f（2）=22+6（m+1）+n=0，即6m+n+10=0 ②，

解得：m=-2，n=2

故函数y=logn（mx+1）的解析式可化为：

y=log2（-2x+1）

令y=log2（-2x+1）=0，则x=0

∴函数y=logn（mx+1）的零点是0

（1）∵f（x）=x2-（a+2）x+alnx，

∴f′（x）=2x-（a+2）+==，其中x＞0，

令f'（x）=0，得x=1或x=．

∵a＞2，∴＞1．

当0＜x＜1及x＞时，f'（x）＞0；

当1＜x＜时，f'（x）＜0；

∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞）．

（2）当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，f′（x）=2x+-6==，其中x＞0，

当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＞0．

当x∈（1，2）时，f′（x）＜0．

∴f（x）在x∈（0，1），（2，+∞）时为增函数，

在x∈（1，2）时为减函数．

∴f（x）的极大值为f（1）=-5，极小值为f（2）=4ln2-8．

要使函数y=f（x）-m有三个不同的零点，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交点，

如图，则m的取值范围是（4ln2-8，-5）．

（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为：

y=m（x）=(2x0+-6)(x-x0)+x02-6x0+4lnx0，

设φ（x）=f（x）-m（x）=x2-6x+4lnx-(2x0+-6)(x-x0)-(x02-6x0+4lnx0)，

则φ（x0）=0．

ϕ′（x）=2x+-6-（2x0+-6）=2（x-x0）（1-）=（x-x0）（x-）

若x0＜，φ（x）在（x0，）上单调递减，

∴当x∈（x0，）时，φ（x）＜φ（x0）=0，此时＜0；

若x0＞，φ（x）在（，x0）上单调递减，

∴当x∈（，x0）时，φ（x）＞φ（x0）=0，此时＜0．

∴y=f（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．

若x0=，(x-)2＞0，

∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，

当x＞x0时，φ（x）＞φ（x0）=0，

当x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，故＞0．

即此时点P是y=f（x）的“类对称点”

综上，y=f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．