函数与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，解不等式bf(ax)>0；

正确答案

(－3，2)

由题意，得f＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6，

所以a＝－1，b＝－6，

所以不等式bf(ax)>0，即为f(－x)<0，即x2＋x－6<0，解得－3

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题型：简答题

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简答题

(1)求函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点；

(2)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，试求函数的零点个数．

正确答案

（1）－1，1，2.（2）两个

(1)∵f(x)＝x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x＋1)(x－1)．令f(x)＝0，得x＝±1，2，

∴函数f(x)的零点是－1，1，2.

(2)令f(x)＝0，即ln(x＋1)＝，在同一坐标系中画出y＝ln(x＋1)和y＝的图象，

可知两个图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．

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题型：填空题

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填空题

设函数f（x）=ax-1，且f（lna）=1，则a的值组成的集合为______．

正确答案

函数f（x）=ax-1，且f（lna）=1，

∴alna-1=1，即lna-1=0，解得a=e．

∴a的值组成的集合为：{e}．

故答案为：{e}．

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题型：填空题

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填空题

方程sinx=的根的个数为______．

正确答案

令 y=，y=sinx，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数．

由于直线 y=的斜率为，又-1≤sinx≤1，

所以仅当-2009π≤x≤2009π时，两图象有交点．

由函数y=sin的周期性，把闭区间[-2009π，2009π]分成

[-2009π，2（-1005+1）π，[2kπ，2（k+1）π]，[2×1004π，2009π]（k=-1004，-1003，…，-2，-1，0，1，2，…，1004），共1005个区间，

故实际交点有2010个．即原方程有2010个实数解．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

方程x2-x-m=0在x∈[-1，1]上有实根，则m的取值范围是______．

正确答案

方程即 m=x2-x=(x- ) 2-，

∵x∈[-1，1]

∴m∈[-，2]

得实数的取值范围为[-，2]，

故答案为：[-，2]．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．

正确答案

依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：

①当x≥1时，若f（x）=x2 -ax 不是单调的，它的对称轴为x=，则有＞1，∴a＞2．

②当x≥1时，若f（x）=x2 -ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时a≤2．

当x＜1时，由题意可得f（x）=ax+1-2a应该不单调递增，故有a≤0．

综合得：a的取值范围是（2，+∞）∪（-∞，0]．

故答案为：（2，+∞）∪（-∞，0]．

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题型：简答题

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简答题

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

正确答案

a的取值范围为a>1或a<－

解：令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9(a－)2＋>0，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，

∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．

f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，

∴a≤－或a≥1．

检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x．

令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1．

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1．

当f(3)＝0时，a＝－，

此时f(x)＝x2－x－．

令f(x)＝0，即x2－x－＝0，

解得x＝－或x＝3．

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－．

所以a的取值范围为a>1或a<－．

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．

正确答案

(1)∵不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)，

∴x＝1和x＝3是方程ax2＋(b＋2)x＋c＝0(a<0)的两根，

∴，∴b＝－4a－2，c＝3a，

又方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根．

∴Δ＝b2－4a(c＋6a)＝0，∴4(2a＋1)2－4a×9a＝0.

∴(5a＋1)(1－a)＝0，∴a＝－或a＝1(舍)．

∴a＝－，b＝－，c＝－，

∴f(x)＝－x2－x－.

(2)由(1)知f(x)＝ax2－2(2a＋1)x＋3a

＝a2－＋3a

＝a2＋

∵a<0，

∴f(x)的最大值为，

∵f(x)的最大值为正数．

∴

∴解得a<－2－或－2＋

∴所求实数a的取值范围是∪(－2＋，0)．

略

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题型：填空题

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填空题

已知关于x 的方程x2-|x|+a-1=0有四个不等根，则实数a的取值范围是______．

正确答案

∵方程x2-|x|+a-1=0有四个不等根，

①若x＞0，方程有两正根设为x1，x2，则有，△=1-4（a-1）＞0，

解得1＜a＜

②若x＜0，方程有两负根设为x1，x2，则有，

解得1＜a＜，

∴实数a的取值范围是1＜a＜，

故答案为：（1，）．

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题型：填空题

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填空题

若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)为同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝，则f(x)的“友好点对”有________个．

正确答案

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设x<0，则问题转化为关于x的方程(2x2＋4x＋1)＋＝0，

即ex＝－x2－2x－有几个负数解问题．

记y1＝ex，y2＝－(x＋1)2＋，

当x＝－1时， <，

所以函数y1的图象与y2的图象有两个交点(如图)，且横坐标均为负数，故所求“友好点对”共有2个．

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