热门试卷

（1）解：∵关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

∴.

∴.

∴.

∴.

(2)解法1:由(1)得.

∴的定义域为.

∴.

方程（*）的判别式

.

①当时，，方程（*）的两个实根为

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点.

②当时，由,得或，

若，则

故时，，

∴函数在上单调递增。

∴函数没有极值点.

若时，

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点，有极大值点.

综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定义域为.

∴.

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上.

令,

得, (*)

则,(**)

方程（*）的两个实根为, .

设,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点.

②若,则得

又由(**)解得或,

故.

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点，有极大值点.

综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )

(2)证法1：∵， ∴.

∴

.

令，

则

.

∵，

∴

.

∴，即.

证法2：下面用数学归纳法证明不等式.

① 当时，左边，右边，不等式成立；

② 假设当N时，不等式成立，即，

则

.

也就是说，当时，不等式也成立。

由①②可得，对N，都成立.