平面与平面垂直的判定与性质
共123题

· 平面与平面垂直的判定与性质

平面与平面垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，

且，．

17．求证：直线平面；

18. 求证：平面平面．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

解析

为中点，为的中位线

又为棱柱，

，又平面，且

平面；

考查方向

直线与直线、平面与平面位置关系

解题思路

易错点

判定定理的选用，线面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

解析

为直棱柱，平面

，又

且，平面

平面，

又，平面

又平面，

又，，且平面

平面，又

平面平面．

考查方向

直线与直线、平面与平面位置关系

解题思路

易错点

判定定理的选用，线面关系的转化

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

19.证明：平面AEC⊥平面AFC；

20.求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.

在Rt△FDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，

∴，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

解析

见答案

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；

易错点

本题在证明过程中推理不严密易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分

故.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

易错点

本题在写垂直的过程不能写全条件。

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.已知都是球表面上的点，平面，，，，，则球的表面积等于______.

正确答案

解析

试题分析：因为平面，，所以四面体的外接球半径等于以长、宽、高分别为三边长的长方体的外接球的半径．因为，，，所以＝＝，所以表面积为．

考查方向

本题主要考查球的表面积、球的内接多面体等知识点．

解题思路

首先根据已知条件求出圆的半径，进而可求出圆的表面积。

易错点

对相关知识但不熟悉下导致错误。

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积.

正确答案

（Ⅲ）四棱锥的体积为24.

解析

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以.

由分别为的中点，得，

所以.

因为侧面底面，且，

所以底面.

又因为底面，

所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

同理，得平面.

又因为，平面，平面，

所以平面平面.

又因为平面，

所以平面.

（Ⅲ）解：在中，过作交于点（图略），

由，得，

又因为，

所以，

因为底面，

所以底面，

所以四棱锥的体积.

考查方向

本题以四棱锥为背景，依托面面垂直性质定理及等腰三角形的性质等重点考查线面垂直、线面平行的判定（面面平行的性质）以及空间几何体体积的求法。本题的设计吻合高考命题的方向，通过以上重要知识点的组合设计突出考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

解题思路

1、第一问由，（通过为底角为45度的等腰三角形得出）即可证平面；

2、第二问可通过证明平面MEF平行平面PAB得出平面；也可以通过取PA中点N，连结MN,BN构造平行四边形MNBE得出NB由线面平行判定得出平面。

3、由PA垂直平面ABCD为基础，通过作PA平行线得出四棱锥的高即可顺利解决问题，于是过作交于点即得到四棱锥的高，然后通过，三角形MND与三角形PAD相似可得MN的值，进而求出四棱锥的体积.

易错点

本题前两问中的证明过程要求严谨、完整，部分学生易书写的不规范、不完整而出错。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

19.如图，四棱锥中，底面，，底面为梯形，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

正确答案

（1）见解析；

（2）．

解析

试题分析：本题属于直线与平面垂直的性质、面面垂直的判定、棱锥的体积等知识点的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：

（1）证明：如图，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC.

又AB⊥BC，PAAB=A，∴BC⊥平面PAB.

又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.

（2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD.

在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得，

∴.

又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，

∴DC=2AB，∴，

考查方向

本题考查了直线与平面垂直的性质、面面垂直的判定、棱锥的体积等知识点。

解题思路

（1）先由线面垂直的性质得，再结合已知条件可得平面，进而使问题得证；

（2）易证得为等腰直角三角形，从而求得的长，进而求得四棱锥的体积．

易错点

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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