热门试卷

（Ⅰ）连接，在正方形中，，

正方体中，平面，

平面，，平面，

，即；-------------4分

正方体中，、、两两垂直，

分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，

设，，，设，

，，设平面的法向量为，

则，即，令，得，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

平面平面，，得，，--------8分

设平面与平面所成锐二面角为，

则．-------------12分

（1）取线段中点，连接，

在正方体中，，

在和中，，

又，∴，

∴，

        从而，

∴，即．

又，

∴平面，

∵平面， ∴ ，

在等腰三角形中，，

又与相交，知平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）在等腰三角形中，由

知，且，

记线段中点为，连接，由（1）知，两两互相垂直，

以为坐标原点，分别以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则，

设平面的法向量为，则，

即，

取，则，从而得到平面的一个法向量．

，记直线与平面所成角为，

则．

故直线与平面所成角的正弦值为．

证明：连接AC，

∵底面ABCD是边长为a的正方形，并且F是BD的中点，

∴F是AC的中点，

在△PAC中，F是AC的中点，E是PC的中点，

∴EF∥PA，

∵平面PAD，平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

∵侧面PAD⊥底面ABCD，交线是AD，

在△PAD中，，

∴△PAD是等腰直角三角形，

设AD的中点为G，连接PG，则，且

∴底面ABCD，

∴空间几何体BCDP的体积是：

证明：连接AC，

∵底面ABCD是边长为a的正方形，并且F是BD的中点，

∴F是AC的中点，

在△PAC中，F是AC的中点，E是PC的中点，

∴EF∥PA，

∵平面PAD，平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

∵侧面PAD⊥底面ABCD，交线是AD，

在△PAD中，，

∴△PAD是等腰直角三角形，

设AD的中点为G，连接PG，则，且

∴底面ABCD，

∴空间几何体BCDP的体积是：