热门试卷

１（1）

如图，因为，，所以. 又，，所以.　而，所以.

（2I）因为，所以直线所成角等于直线AD与平面所成角（记为）。

连结，因为棱柱是直棱柱，且，所以，从而，又，所以四边形为正方形，于是，故，于是。

由（I）可知：，所以，故。

在直角梯形ABCD中，因为，所以，从而∽，故，即 从而易得

，即. 连，

在中，. 得。

即直线所成角的正弦值为。

解法2. （I）

易知AB，AD，两两垂直，如图，以点A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。　设AB=t ，则相关各点坐标为

，，，，，，.

从而，，.

因为，所以，解得或（舍去）

于是，，又因为

，所以，即.

（2）由（I）知，，

.　设是平面的一个法向量，则

，即令x=1，得

。

设直线所成角为，则

=.

即直线所成角的正弦值为。

(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上。

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，

所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形。

（1）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz

则O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0）

P（0,0,4）由此可得所以

⊥，即AP⊥BC.

（2）解：设

设平面BMC的法向量

平面APC的法向量

由

得

即可取

由即得可取

由，得

解得，故AM=3

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

方法二：

（1）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,

又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC。

因为PO∩BC=0，所以BC⊥平面PAD

故BC⊥PA.

（2）解：如图，在平面PAD内作BM⊥PA于M,连CM.

由（Ⅰ）中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.

又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC。

在Rt⊿ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=

在Rt⊿POD中, PB2=PO2+OD2,

在Rt⊿PDB中, PB2=PD2+BD2,

所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.

在Rt⊿POA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5

又

从而所以

综上所述，存在点M符合题意，AM=3.