平面与平面垂直的判定与性质
共123题

· 平面与平面垂直的判定与性质

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题型：填空题

填空题 · 5 分

圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为

正确答案

解析

设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ，P(x,y,0)。于是有由于AM⊥MP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为

知识点

平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2, ,且平面,平面平面.

（1）当平面时，求的长；

（2）当时，求二面角的大小。

正确答案

见解析

解析

解：（1）设，如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,a),

取BD的中点T，连接CT,AT,则CTBD.

又平面BCD平面ABD,

所以CT平面BCD,

所以CT//AE.

AB=AD=BC=CD=2, ,

所以CDCB, ,

C(1,1, ),

设平面CDE的法向量为,

则有, .

AB//平面CDE,

即AE的长为.

（2）连接AC,当时,由(1)可知平面CDE的一个法向量，

又BDAT,BDAE, BD平面ACE,

平面ACE的一个法向量

二面角的大小为.

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点。

（1）求证：A1C∥平面BMD；

（2）求证：A1O⊥平面ABCD；

（3）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）证明:

连结

（2）于是

（3）

如图建立直角坐标系，

设平面的法向量为

所以，直线与平面所成角的正弦值为

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。

（1）若，求证：平面；

（2）点在线段上，，试确定的值，使；

正确答案

见解析。

解析

（1）连BD,四边形ABCD菱形, ∵AD⊥AB, ∠BAD=60°

△ABD为正三角形, Q为AD中点, ∴AD⊥BQ

∵PA=PD,Q为AD的中点,AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB, AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD;

（2）当时,平面

下面证明,若平面,连交于

由可得,,

平面,平面,平面平面,

即:

知识点

平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在四棱锥中，分别为的中点，

（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；

（2）设，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1），分别为的中点，

为矩形，

,又

面,面,

平面⊥平面

（2） ,又，

又,所以面, ···

建系为轴，为轴，为轴, 则，,

平面法向量，平面法向量 ·

，可得. ··

知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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