- 判断两个函数是否为同一函数
- 共19题
已知函数,其中e是自然对数的底数,
。
(1)当a=1时,求函数的单调区间与极值;
(2)是事存在实数a,使的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,
,x∈(0,e],……1分
令>0,得
<x<e,
<0,得0<x<
,
∴的单调增区间是[
,e],单调减区间为(0,
], …………4分
的极小值为f(
)=
一ln
=
+
ln2.无极大值,…………5分
(2)假设存在实数a,使=
,(x∈[0,e])有最小值3,
min=2f(e)=ae2—-1=3
(舍去) …………6分
①当a≤0时,x∈(0,e],所以<0,所以
在(0,e]上单调递减,
∴,
(舍去), …………8分
②当a>0时,令=0得:
,
(ⅰ)当0<√<e即a>
时
f(x)在(0,]上单调递减,在(
,e]上单调递增,
∴f(x)min=f()=
,得a=
, …………10分
(ⅱ)当≥e即0<a≤
时,
x∈(0,e]时,f’(x)<0,所以,f(x)在(0,e]上单调递减,
∴f(x)min=,
(舍去),此时f(x)无最小值。
综上,存在实数,使得当x
(0,e]时,
有最小值3.…………l2分
知识点
已知函数(
且
)满足
,若
是
的反函数,则关于x的不等式
的解集是 。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数(
,
)的最小值为
。
⑴求;
⑵若函数的图象向左平移
(
)个单位长度,得到的曲线关于
轴对称,求
的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为函数(
,
)的最小值为
,
所以,
,
…
⑵函数的图象向左平移
(
)个单位长度,
得
因为的图像关于
轴对称,
所以
解得
因为,所以
的最小值为
知识点
如图1,⊙O的直径AB=4,点C、D为⊙ O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为的中点,沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)。
(1)求证:OF∥平面ACD;
(2)求二面角C﹣AD﹣B的余弦值;
(3)在上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试指出点G的位置,并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:如图,因为∠CAB=45°,连结OC,
则OC⊥AB。
以AB所在的直线为y轴,以OC所在的直线为z轴,以O为原点,作空间直角坐标系O﹣xyz,
则A(0,﹣2,0),C(0,0,2)。
,
∵点F为的中点,∴点F的坐标为
,
,∴
,即OF∥AC。
∵OF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴OF∥平面ACD。
(2)解:∵∠DAB=60°,∴点D的坐标,
。
设二面角C﹣AD﹣B的大小为θ,为平面ACD的一个法向量。
由有
即
取x=1,解得,
,∴
=
,
取平面ADB的一个法向量=(0,0,1),
∴。
(3)设在上存在点G,使得FG∥平面ACD,∵OF∥平面ACD,∴平面OFG∥平面ACD,则有OG∥AD。
设,∵
,∴
。
又∵,∴
,解得λ=±1(舍去﹣1),∴
,则G为
的中点。
因此,在上存在点G,使得FG∥平面ACD,且点G为
的中点。
设直线AG与平面ACD所成角为α,
∵ ,
根据(2)的计算为平面ACD的一个法向量,
∴。
因此,直线AG与平面ACD所成角的正弦值为。
知识点
已知函数的最小正周期为6
。
(1)求的值;
(2)设,求
的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
=2sin(x一
), ……2分
∵函数的最小正周期为
,
∴,即
…………4分
∴。
∴ ………6分
(2),
∴
=,
∴, ……8分
∵∈[一
,0],∴
,
…………10分
∴
∴cos()=cos
………………12分
知识点
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