- 判断两个函数是否为同一函数
- 共19题
已知函数,其中e是自然对数的底数,。
(1)当a=1时,求函数的单调区间与极值;
(2)是事存在实数a,使的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,,x∈(0,e],……1分
令>0,得<x<e,
<0,得0<x<,
∴的单调增区间是[,e],单调减区间为(0,], …………4分
的极小值为f()=一ln=+ln2.无极大值,…………5分
(2)假设存在实数a,使=,(x∈[0,e])有最小值3,
min=2f(e)=ae2—-1=3 (舍去) …………6分
①当a≤0时,x∈(0,e],所以<0,所以在(0,e]上单调递减,
∴,
(舍去), …………8分
②当a>0时,令=0得:,
(ⅰ)当0<√<e即a>时
f(x)在(0,]上单调递减,在(,e]上单调递增,
∴f(x)min=f()=,得a=, …………10分
(ⅱ)当≥e即0<a≤时,
x∈(0,e]时,f’(x)<0,所以,f(x)在(0,e]上单调递减,
∴f(x)min=, (舍去),此时f(x)无最小值。
综上,存在实数,使得当x(0,e]时,有最小值3.…………l2分
知识点
已知函数(且)满足,若是的反函数,则关于x的不等式的解集是 。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数(,)的最小值为。
⑴求;
⑵若函数的图象向左平移()个单位长度,得到的曲线关于轴对称,求的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为函数(,)的最小值为,
所以,,…
⑵函数的图象向左平移()个单位长度,
得
因为的图像关于轴对称,
所以
解得
因为,所以的最小值为
知识点
如图1,⊙O的直径AB=4,点C、D为⊙ O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为的中点,沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)。
(1)求证:OF∥平面ACD;
(2)求二面角C﹣AD﹣B的余弦值;
(3)在上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试指出点G的位置,并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:如图,因为∠CAB=45°,连结OC,
则OC⊥AB。
以AB所在的直线为y轴,以OC所在的直线为z轴,以O为原点,作空间直角坐标系O﹣xyz,
则A(0,﹣2,0),C(0,0,2)。
,
∵点F为的中点,∴点F的坐标为,
,∴,即OF∥AC。
∵OF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴OF∥平面ACD。
(2)解:∵∠DAB=60°,∴点D的坐标,。
设二面角C﹣AD﹣B的大小为θ,为平面ACD的一个法向量。
由有即
取x=1,解得,,∴=,
取平面ADB的一个法向量=(0,0,1),
∴。
(3)设在上存在点G,使得FG∥平面ACD,∵OF∥平面ACD,∴平面OFG∥平面ACD,则有OG∥AD。
设,∵,∴。
又∵,∴,解得λ=±1(舍去﹣1),∴,则G为的中点。
因此,在上存在点G,使得FG∥平面ACD,且点G为的中点。
设直线AG与平面ACD所成角为α,
∵ ,
根据(2)的计算为平面ACD的一个法向量,
∴。
因此,直线AG与平面ACD所成角的正弦值为。
知识点
已知函数的最小正周期为6。
(1)求的值;
(2)设,求的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)
=2sin(x一), ……2分
∵函数的最小正周期为,
∴,即 …………4分
∴。
∴ ………6分
(2),
∴
=,
∴, ……8分
∵∈[一,0],∴,
…………10分
∴
∴cos()=cos………………12分
知识点
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