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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数,其中e是自然对数的底数,

(1)当a=1时,求函数的单调区间与极值;

(2)是事存在实数a,使的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)∵,x∈(0,e],……1分

>0,得<x<e,

<0,得0<x<

的单调增区间是[,e],单调减区间为(0,],    …………4分

的极小值为f()=一ln=+ln2.无极大值,…………5分

(2)假设存在实数a,使=,(x∈[0,e])有最小值3,

min=2f(e)=ae2—-1=3  (舍去) …………6分

①当a≤0时,x∈(0,e],所以<0,所以在(0,e]上单调递减,

(舍去),    …………8分

②当a>0时,令=0得:

(ⅰ)当0<√<e即a>

f(x)在(0,]上单调递减,在(,e]上单调递增,

∴f(x)min=f()=,得a=,  …………10分

(ⅱ)当≥e即0<a≤时,

x∈(0,e]时,f’(x)<0,所以,f(x)在(0,e]上单调递减,

∴f(x)min= (舍去),此时f(x)无最小值。

综上,存在实数,使得当x(0,e]时,有最小值3.…………l2分

知识点

判断两个函数是否为同一函数
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知函数()满足,若的反函数,则关于x的不等式的解集是         。

正确答案

解析

知识点

判断两个函数是否为同一函数
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数)的最小值为

⑴求

⑵若函数的图象向左平移)个单位长度,得到的曲线关于轴对称,求的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)因为函数)的最小值为

所以

⑵函数的图象向左平移)个单位长度,

因为的图像关于轴对称,

所以

解得

因为,所以的最小值为

知识点

判断两个函数是否为同一函数
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图1,⊙O的直径AB=4,点C、D为⊙  O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为的中点,沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)。

(1)求证:OF∥平面ACD;

(2)求二面角C﹣AD﹣B的余弦值;

(3)在上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试指出点G的位置,并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:如图,因为∠CAB=45°,连结OC,

则OC⊥AB。

以AB所在的直线为y轴,以OC所在的直线为z轴,以O为原点,作空间直角坐标系O﹣xyz,

则A(0,﹣2,0),C(0,0,2)。

∵点F为的中点,∴点F的坐标为

,∴,即OF∥AC。

∵OF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴OF∥平面ACD。

(2)解:∵∠DAB=60°,∴点D的坐标

设二面角C﹣AD﹣B的大小为θ,为平面ACD的一个法向量。

取x=1,解得,∴=

取平面ADB的一个法向量=(0,0,1),

(3)设在上存在点G,使得FG∥平面ACD,∵OF∥平面ACD,∴平面OFG∥平面ACD,则有OG∥AD。

,∵,∴

又∵,∴,解得λ=±1(舍去﹣1),∴,则G为的中点。

因此,在上存在点G,使得FG∥平面ACD,且点G为的中点。

设直线AG与平面ACD所成角为α,

∵  

根据(2)的计算为平面ACD的一个法向量,

因此,直线AG与平面ACD所成角的正弦值为

知识点

判断两个函数是否为同一函数
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数的最小正周期为6

(1)求的值;

(2)设,求的值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

=2sin(x一),    ……2分

∵函数的最小正周期为

,即    …………4分

    ………6分

(2)

=

,    ……8分

∈[一,0],∴

   …………10分

∴cos()=cos………………12分

知识点

判断两个函数是否为同一函数
下一知识点 : 函数的定义域及其求法
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