空间点、线、面的位置关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱

上，且。

（1）求证：；

（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：

正确答案

见解析。

解析

（1）四棱柱的底面是平行四边形，

·

平面平面

平面，

平面平面

，

四点共面.

平面平面,平面平面,

（2）设

四边形,四边形都是平行四边形，

为，的中点，为，的中点.

连结由(1)知,从而.

，，

平面,四边形是正方形,

，，均为直角三角形,得

,

，即.

平面平面

.

平面

平面 ·

平面

知识点

平面的概念、画法及表示

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（　　）

A若l⊥α，α⊥β，则l∥β

B若l∥α，α⊥β，则l∥β

C若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥α

D若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m

正确答案

D

解析

当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，

这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，故A不正确，

当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，

这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，故B不正确，

C选项中直线l与平面α或相交或包含关系，故C不正确，

总上可知D是一个正确答案，

故选D。

知识点

平面的概念、画法及表示

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图所示, 直四棱柱的侧棱长为, 底面是边长, 的矩形,为的中点,

（1）求证: 平面,

（2）求异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数表示)。

正确答案

见解析

解析

（1）证明: 由, ,……2分

平面, ……4分

即DE垂直于平面EBC中两条相交直线,

因此DE平面EBC, ……7分

（2）由, 则即为所求异面直线的夹角(或其补角), ……9分

由平面, 得, ……11分

即为直角三角形,

, 因此 ……14分

知识点

平面的概念、画法及表示

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD。

（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；

（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度。

正确答案

见解析。

解析

连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系。

因为，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)。

（1）由，得，

（2）因为M在PA上，可设，得M(λ，0，1－λ)。

所以

设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，

由得

其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)，

因为平面ABD的法向量为，

所以cos＝，即，解得，

从而

，

所以

知识点

平面的概念、画法及表示

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四边形中，，，，

是等边三角形。

（1）求四边形的面积；

（2）求。

正确答案

见解析。

解析

（1）由余弦定理得

因为，所以……4分，四边形的面积

（2）由正弦定理得……10分，所以

知识点

平面的概念、画法及表示

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在多面体中，平面//平面，平面，

,,//，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：//平面；

（3）求三棱锥的体积.

正确答案

见解析。

解析

（1）平面//平面,平面平面,

平面平面,∴//,又，

∴为平行四边形，

又∵平面，平面

（2）取的中点，连接,则由已知条件易证四边形是平行四边形，

∴,又∵

∴四边形是平行四边形，即，又平面,故//平面

（3）∵平面//平面，即到平面的距离为

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平面的概念、画法及表示

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在中，，是的内心，若,其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

根据向量加法的平行四边形法则得动点的轨迹是以为邻边的平行四边形，其面积为的面积的2倍.在中，由余弦定理可得，代入数据解得，设的内切圆的半径为，则，解得，所以，故动点的轨迹所覆盖的面积为.故选.

知识点

平面的概念、画法及表示

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，在正四棱锥中，点为棱的中点，点为棱上的点.

（1）若，求证：平面；

（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假.

若为真，请证明；若为假，请举反例.

正确答案

见解析。

解析

（1）

延长，交于点，连结，

因为点为线段上的点，

且，

所以点为线段的中点，

又点为线段的中点，

所以，

又平面，

平面，

所以平面.

（2）（1）的逆命题为：若平面，

则（真命题），

下证之：因为平面，平面，

平面平面，

所以，

在中，点为线段的中点，点为线段上的点，

所以，点为线段的中点.

知识点

平面的概念、画法及表示

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为 ▲ m2。

正确答案

解析

如图所示，正三棱锥，为顶点在底面内的射影，则为正的垂心，过作于，连接。

则，且，在中，。

于是，，。

所以。

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平面的概念、画法及表示

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC。

（1）设AB=x米，cosA=f(x)，求的解析式，并指出x的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）在△ABD中，由余弦定理得

BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA，

同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC， ………………… 2分

因为∠A和∠C互补，

所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC

＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA， ………… 3分

即 x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cosA，

解得 cosA＝，即f( x)＝，其中x∈(2，5)，　　 ……………………… 5分

（2）四边形ABCD的面积

S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]，

＝x(7－x)………… 8分

所以g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)。

由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)， ……………………… 10分

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减。

因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.……………………… 12分

四边形ABCD的面积最大值为6

答：四边形ABCD的面积最大值为6. ……………………… 13分

知识点

平面的概念、画法及表示

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