函数与方程_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数(其中x＞0)，，设函数，且函数的零点都在区间内，则的最小值为

A2

B4

C 3

D 5

正确答案

A

解析

=0，则由，即，利用零点存在定理判断出该函数的零点在区间内，而，得到该函数的零点在区间内，又因为函数的零点都在区间内，则的最小值为2。

考查方向

函数的零点。

解题思路

求出两个函数的零点，再去找到要求的最小值。

易错点

不知道怎么转化为所学知识来解答。

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．若函数满足，当时，，若在区间

上，有两个零点，则实数的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

当时，可求得解析式为，如下图所示，有2个零点即有2个零点，即函数y=f（x）与y=m（x+2）图像有两个交点，结合图像可以知道，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了函数的零点和函数的性质以及数形结合思想。

解题思路

根据已知定义域上的解析式求出未知的定义域上的解析式，在结合函数的图像找到要求解的范围。

易错点

本题不会由已知的解析式来求未知定义域上的解析式。

知识点

函数零点的判断和求解二次函数的零点问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，

②函数有2个零点

③的解集为

④，都有

其中正确命题个数是（）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

因为f(x)为R上的奇函数，设x>0，-x<0,则，所以1错误，因为，所以f(x)有三个零点，所以2错误，，因为当，

当所以所以解集为，所以3正确。

同理判断4正确，所以选B

考查方向

函数的性质及应用；导数的综合应用；函数奇偶性的性质

解题思路

根据函数的相关性质，结合子题目，依次判断

易错点

求导错误；

知识点

函数性质的综合应用函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

22.（本题满分15分）设函数.

(1)当时，求函数在[－1，1]上的最小值g(a)的表达式；

(2)已知函数在[－1，1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围.

正确答案

(1) ；(2) ；

解析

试题分析：（1）利用函数解析式求出二次函数的对称轴，分类讨论求出函数的最小值；(2)设出方程的解，转化为函数求出b的取值范围。

（1）当时，，对称轴为，

当a≤﹣2时，函数f(x)在[﹣1，1]上递减，则；

当﹣2＜a≤2时，即有，则；

当a＞2时，函数f(x)在[﹣1，1]上递增，则．

综上可得，；

（2）设s，t是方程的解，且﹣1≤t≤1，则，

由于0≤b－2a≤1，

由此，

当0≤t≤1时，，

由，由，

得，所以；

当﹣1≤t＜0时，，

由和，所以，

故b的取值范围是．

考查方向

本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中等题．

解题思路

（1）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；

（2）设s，t是方程的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．

易错点

根据二次函数的对称轴求函数在闭区间上的单调性，基本不等式求最值时灵活变形.

知识点

函数零点的判断和求解利用导数研究函数的单调性

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．如图，偶函数的图象如字母M，奇函数的图象如字母N，若方程，的实根个数分别为、，则=（）

A18

B16

C14

D1

正确答案

A

解析

由图象可知f(x)=0有三个根，0，，g(x)=0有三个根，0，

由图象可知，g(x)所对的每一个值都能有3个根，因此m=9,同理可得,n=9,所以选A.

考查方向

函数的图象；奇偶函数的性质

解题思路

结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点

个数，可分别求出m.n，进而得到答案

易错点

数型结合思想的相互转化错误

知识点

函数的图象函数零点的判断和求解二次函数的零点问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣1）⊗（x﹣1），且关于x的方程f（x）﹣m=0恰有三个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

正确答案

解析

由题意可得函数的图像为下图，从图象上观察当关于X的方程为f(x)=m恰有三个互补相当的实数根时，函数的图形和直线y=m由三个不同的交点。再根据函数的极大值，可得m的取值范围为，所以填

考查方向

根的存在性及根的个数判断；新定义公式定理；函数的性质及应用

解题思路

根据函数的解析式画出函数的图像，然后确定实数的取值范围。

易错点

计算错误，考虑情况不完全

知识点

函数零点的判断和求解分段函数模型

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知定义在R上的奇函数y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称，当0＜x≤1时，f（x）＝，则方程f（x）－1＝0在（0，6）内的零点之和为

A8

B10

C12

D16

正确答案

C

解析

根据性质做出图像

共有4个零点ABCD，且AB关于x=1对称

CD关于x=5对称

考查方向

本题考察了函数的奇偶性，对称性，考察了函数的零点，该题属于综合类题，较难

解题思路

1）根据函数性质得出函数在（0，6）上的图像，

2）数形结合得到零点

3）根据对称性得出零点间关系

易错点

主要易错于函数图像不能有效的画出

知识点

函数零点的判断和求解二次函数的零点问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数没有零点的概率是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

在区间[0,2]上任取两个数a,b，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为4，要想使函数在区间内没有零点，则函数的最小值应该大于0，即，作出不等式对应的平面区域如下图，对应的面积，则对应的概率,所以选D

考查方向

几何概型

解题思路

结合二次函数的性质求出函数在区间内没有零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论

易错点

数型结合思想掌握不好，几何概型理解不透彻

知识点

函数零点的判断和求解与长度、角度有关的几何概型

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.

其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).

正确答案

①④

解析

对于①，因为f '(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确；

对于②，取a＝－8，即g'(x)＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误；

对于③，令f '(x)＝g'(x)，即2xln2＝2x＋a，记h(x)＝2xln2－2x，则h'(x)＝2x(ln2)2－2，存在，使得，可知函数先减后增，有最小值，因此，对于任意的a,m=n不一定成立，③错误；对于④，由，即，令，则恒成立，即是单调递增函数，当，时，当，时，因此对于任意的a，存在y=a与函数有交点，④正确。

考查方向

本题主要考察函数的性质、导数的应用等知识，意在考察考生的综合解决问题的能力。

解题思路

逐个判断各个选项的正误即可。

易错点

不明白题中给出的条件是什么；对于③④，不知道该如何判断正误。

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.若函数存在唯一的零点，则实数t的取值范围为 ▲ .

正确答案

解析

∵当x=0时无零点，

考查方向

本题主要考察了导数的加法与减法法则，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，该题比较综合，属于中档题

解题思路

1）对函数当x=0时进行讨论不成立

2）当

3）讨论进行讨论单调性

4）借助单调性及其最值得出结论

易错点

本题易错在分类不清或者对单调性判断错误

知识点

函数零点的判断和求解

热门试卷

正确答案

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