函数与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

12. 设满足，且当时，,若函数有且仅有五个零点，则实数的取值范围是（）

正确答案

见解析

解析

画出[-1,3]函数的图象，如图所示，再利用周期将图象向左右复制，得到整个定义域内的图象，g(x)=f(x)-kx有且仅有五个零点，即y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，当直线y=kx与第3段抛物线3：y=相切时，k=4- (k=4+舍)，此时直线为y=(4-)x,第2段折线的最高点为T(6,1), (4-),所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，再由对称性可得在y轴左侧k=-4+时，所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，所以本题没有正确答案。

考查方向

本小题考查函数的周期性，函数的图像的性质、函数的零点确定

解题思路

首先画出分段函数，结合周期画出定义域内函数图像，图像是由一段抛物线（无左端点，有右端点）与一段折线（无左端点，有右端点）组成，并且区间长度为4，且f(x+4)=f(x), 说明函数周期为4, 所以整个定义域内的图像可以由基本图像进行复制, 如图所示, 不妨设从y轴右侧起，每段抛物线分别记为1,2,3……，每段折线段记为1,2,3……，若g(x)=f(x)-kx有且仅有五个零点，即y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，当直线y=kx与第3段抛物线3：y=相切时，k=4- (k=4+舍)，此时直线为y=(4-)x,第2段折线的最高点为T(6,1), (4-),所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，再由对称性可得在y轴左侧k=-4+时，y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，所以本题没有正确答案。

易错点

函数零点的确定，数形结合，推理论证能力

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12. 设满足，且当时，,若函数有且仅有五个零点，则实数的取值范围是（）

正确答案

见解析

解析

画出[-1,3]函数的图象，如图所示，再利用周期将图象向左右复制，得到整个定义域内的图象，g(x)=f(x)-kx有且仅有五个零点，即y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，当直线y=kx与第3段抛物线3：y=相切时，k=4- (k=4+舍)，此时直线为y=(4-)x,第2段折线的最高点为T(6,1), (4-),所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，再由对称性可得在y轴左侧k=-4+时，所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，所以本题没有正确答案。

考查方向

本小题考查函数的周期性，函数的图像的性质、函数的零点确定

解题思路

首先画出分段函数，结合周期画出定义域内函数图像，图像是由一段抛物线（无左端点，有右端点）与一段折线（无左端点，有右端点）组成，并且区间长度为4，且f(x+4)=f(x), 说明函数周期为4, 所以整个定义域内的图像可以由基本图像进行复制, 如图所示, 不妨设从y轴右侧起，每段抛物线分别记为1,2,3……，每段折线段记为1,2,3……，若g(x)=f(x)-kx有且仅有五个零点，即y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，当直线y=kx与第3段抛物线3：y=相切时，k=4- (k=4+舍)，此时直线为y=(4-)x,第2段折线的最高点为T(6,1), (4-),所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，再由对称性可得在y轴左侧k=-4+时，y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，所以本题没有正确答案。

易错点

函数零点的确定，数形结合，推理论证能力

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12. 设满足，且当时，,若函数有且仅有五个零点，则实数的取值范围是（）

正确答案

见解析

解析

画出[-1,3]函数的图象，如图所示，再利用周期将图象向左右复制，得到整个定义域内的图象，g(x)=f(x)-kx有且仅有五个零点，即y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，当直线y=kx与第3段抛物线3：y=相切时，k=4- (k=4+舍)，此时直线为y=(4-)x,第2段折线的最高点为T(6,1), (4-),所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，再由对称性可得在y轴左侧k=-4+时，所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，所以本题没有正确答案。

考查方向

本小题考查函数的周期性，函数的图像的性质、函数的零点确定

解题思路

首先画出分段函数，结合周期画出定义域内函数图像，图像是由一段抛物线（无左端点，有右端点）与一段折线（无左端点，有右端点）组成，并且区间长度为4，且f(x+4)=f(x), 说明函数周期为4, 所以整个定义域内的图像可以由基本图像进行复制, 如图所示, 不妨设从y轴右侧起，每段抛物线分别记为1,2,3……，每段折线段记为1,2,3……，若g(x)=f(x)-kx有且仅有五个零点，即y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，当直线y=kx与第3段抛物线3：y=相切时，k=4- (k=4+舍)，此时直线为y=(4-)x,第2段折线的最高点为T(6,1), (4-),所以y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，再由对称性可得在y轴左侧k=-4+时，y=f(x)与y=kx的图象有且仅有五个交点，所以本题没有正确答案。

易错点

函数零点的确定，数形结合，推理论证能力

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

，因为有且仅有一个零点，所以的图象与轴的交点外，不可与轴有其它交点；分类讨论。

①当时，由，得或，因为只有一个零点，所以由得；

②当时，，因为，且单调递增，

当即时，，单调递增，因为只有一个零点，所以，得；

当即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为只有一个零点，所以，不可能成立；

综合①②知，。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了分段函数的图象及性质。

解题思路

先写出的解析式，得有且仅有一个零点；

分和两种情况讨论，分别画出两段的函数图象，需的取值不得使两段图象与轴有除外的其它交点。

易错点

不会画含参数的二次函数图象；

不会用导函数研究原函数的图象，当所给函数不是基本初等函数时，我们可通过求导来研究原函数的图象。

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法求函数的值函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.设方程的两个根为，则（）

A

B

C

D

正确答案

D

考查方向

函数的零点；数形结合

解题思路

分别作出函数y=4x和y=|lg（-x）|的图象，由图象先确定两个根的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质进行判断．

易错点

不会利用数形结合来处理，导致解题失败

教师点评

本题主要考查了利用数形结合的思想解决有关的函数零点问题，如果不能将两个图象分别转化出来，本题的解答将十分困难。

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．设为实数，函数。

（1）若，求的取值范围；

（2）讨论的单调性；

（3）当时，讨论在区间内的零点个数。

正确答案

（1），因为，所以

当时，，显然成立；当，则有，所以.所以

综上所述，的取值范围是。

（2）

对于，其对称轴为，开口向上，

所以在上单调递增；

对于，其对称轴为，开口向上，

所以在上单调递减。

综上，在上单调递增，在上单调递减。

（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以。

（i）当时，，

令=0，即（x>0）。

因为在上单调递减，所以

而在上单调递增，，所以与在无交点。

当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点x=2。

（ii）当时，，

当时，，，而在上单调递增，

当时，.下面比较与的大小

因为

所以

结合图像不难得当，与有两个交点。

综上，当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点。

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21. 设函数.

（1）讨论的导函数的零点的个数；

（2）证明：当时.

正确答案

（1）的定义域为.

当≤0时，没有零点；

当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，

当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点.

（2）由（1），可设在的唯一零点为，当时，＜0；

当时，＞0.

故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.

由于，所以.

故当时，.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数零点的判断和求解利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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易错点

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考查方向

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解题思路

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教师点评

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