- 复合函数的单调性
- 共394题
已知,且
,则
的最大值为 。
正确答案
解析
知识点
设函数.
(1)若对定义域内的任意,都有
成立,求实数
的值;
(2)若函数是定义域上的单调函数,求实数b的取值范围;
(3)若,证明对任意的正整数
,不等式
成立.
正确答案
见解析
解析
(1)由,得
.
的定义域为
(1分)
因为对,都有
的最小值,
故有. (2分)
又,解得
(3分)
经检验,当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
为最小值,
故满足成立. (4分)
(2),又函数
在定义域上是单调函数。
在
上恒成立 (6分)
即恒成立,由此得
; (8分)
若,则
在
上恒成立.即
恒成立.
因为在
上没有最小值,
不存在实数b使
恒成立.
综上所述,实数b的取值范围是. (10分)
(3)当时,函数
.
令
则,
当时,
,
所以函数在
上单调递减
又当
时,恒有
,
即恒成立.
故当时,有
(12分)
,取
,
则有.
(14分)
知识点
已知,
,
,且
,求证:
。
正确答案
见解析。
解析
因为
,
当且仅当,即
时,取等,
所以。
知识点
对于实数,将满足“
且
为整数”的实数
称为实数
的小数部分,用符号
表示,已知无穷数列
满足如下条件:
①;②
。
(1)若时,数列
通项公式为 ;
(2)当时,对任意
都有
,则
的值为 。
正确答案
(1);(2)
或
解析
(1)若时,
,则
。
(2)当时,由
知,
,所以
,
,且
。
①当时,
,故
(
舍去)
②当时,
,故
(
舍去)
综上,或
知识点
已知矩阵A=,A的两个特征值为λ1=2,λ2=3。
(1)求a,b的值;
(2)求属于λ2的一个特征向量。
正确答案
见解析。
解析
(1)令f(λ)==(λ﹣a)(λ﹣4)+b=λ2﹣(a+4)λ+4a+b=0,
于是λ1+λ2=a+4,λ1λ2=4a+b,解得a=1,b=2
(2)设=
,则A
=
=
=3
=
,
故解得x=y,于是
=
。
知识点
某工厂有216名工人,现接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务。
已知每台GH型产品由4个G型装置和3 个H型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个G型装置或3 个H型装置,现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置(完成自己的任务后不再支援另一组)设加工G型装置的工人有x人,他们加工完成G型装置所需的时间为g(x),其余工人加工完成H型装置所需的时间为h(x)(单位:小时,可不为整数)。
(1)写出g(x),h(x)的解析式;(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式;(3)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?
正确答案
(1)
(2)
(3)加工G型装置,H型装置的人数分别为86、130或87、129
解析
解析:(1)由题意知,需加工G型装置4000个,加工H型装置3000个,所用工人分别为人和(
)人,∴
,
,
即,
(
,
) ………4分
(2),
∵0<x<216,∴216-x>0,
当时,
,
,
,
当时,
,
,
,
………8分
(3)完成总任务所用时间最少即求的最小值,
当时,
递减,∴
,
∴,此时
,
………9分
当时,
递增,∴
,
∴,此时
, ………10分
∴,
∴加工G型装置,H型装置的人数分别为86、130或87、129。 ………12分
知识点
已知函数的导函数
是二次函数,且
的两根为
,若
的极大值与极小值之和为0,
。
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在开区间上存在最大值与最小值,求实数
的取值范围。
(3)设函数,正实数a,b,c满足
,证明:
。
正确答案
见解析
解析
(1)设,
则可设,其中
为常数。
因为的极大值与极小值之和为0,
所以,即
,
由得
,
所以;
(2)由(1)得,且
由题意得,三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值(如图),
又,故
, 所以
,且
,
解得;
(3)题设等价与,且a,b,c
0,
所以a,b,c均小于。
假设在a,b,c中有两个不等,不妨设ab,则a
b或a
b。
若ab,则由
得
即
,
又由得c
a。
于是ab
c
a,出现矛盾。
同理,若ab,也必出现出矛盾。
故假设不成立,所以,
知识点
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切
半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的
中点,求BC的长。
正确答案
见解析
解析
解:连接OD,则OD⊥DC,
在Rt△OED中,OB
OD,
所以∠ODE30°,
在Rt△ODC中,∠DCO30°,由DC
2得OD
DCtan30°
,
所以BC,
知识点
在平面直角坐标系xOy中,已知点在曲线
(
为参数,
为正常数),求
的值。
正确答案
见解析
解析
由(
为参数,
为正常数),消去参数
得
,
将点代入
得
.
知识点
(1)计算:C+A
;
(2)观察下面一组组合数等式:C=nC
;2C
=nC
;3C
=nC
;…由以上规律,请写出第k(k∈N*)个等式并证明。
正确答案
见解析。
解析
(1)原式=C+A
=2014+5×4×3=2014+60=2074
(2)由C=nC
;
2C=nC
;
3C=nC
;
…
可得第k(k∈N*)个等式为:
kC=nC
,k∈N*,
证明如下:kC=
=
=nC
,。
知识点
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