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题型:填空题
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填空题 · 5 分

某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为 120°;二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成 两条长度均为原来的线段;且这两条线段与原线段两两夹角为 120°;;依次规律得到级分形图。

则(1)级分形图中共有        条线段.

(2)级分形图中所有线段长度之和为       .

正确答案

(1);(2)

解析

依题意,(1)记级分形图中共有条线段,则有,由累加法得

(2)级分形图中所有线段的长度和等于

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 6 分

已知函数,求函数的值域;

正确答案

解析

解析:(1)

…4分

所以函数的值域是;……………………………… …………6分

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中率都是.,每次命中与否互相独立。

(1)求油罐被引爆的概率。

(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望

正确答案

见解析。

解析

(1)“油罐被引爆”的事件为事件A,其对立事件为,则P()=C

∴P(A)=1-         答:油罐被引爆的概率为

(2)射击次数ξ的可能取值为2,3,4,5,

P(ξ=2)=,   P(ξ=3)=C    ,

P(ξ=4)=C, P(ξ=5)=C

故ξ的分布列为:

Eξ=2×+3×+4×+5×=

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积

这里M=  N= 

正确答案

见解析。

解析

在矩阵N=  的作用下,一个图形变换为其绕原点逆时针旋转得到的图形,在矩阵M=  的作用下,一个图形变换为与之关于直线对称的图形。因此

△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,从而其面积等于△ABC的面积,即为1

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,求直线l截圆C所得的弦长。

正确答案

见解析。

解析

圆C的参数方程为(θ为参数),

所以圆C的方程为 x2+(y﹣2)2=1;圆的圆心坐标(0,2),半径为1,

直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,

所以直线l的方程为 x+y=1。

圆心到直线的距离为:

圆心到直线的距离,半径,半弦长满足勾股定理,

故所求弦长为=

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数为自然对数的底数).

(1)求的最小值;

(2)设不等式的解集为,且,求实数的取值范围;

(3)设,证明:.

正确答案

见解析

解析

(1)因为,所以.

,得,所以当时,,当时,

所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。

所以当时,有最小值.

(2)因为不等式的解集为,且

所以对任意,不等式恒成立。

,得

时,上述不等式显然成了,所以只需考虑的情况。

变形为.令,则

时,,当时,

所以上单调递减,在上单调递增。

所以当时,函数取得最小值.

故实数的取值范围为.

(3)由(1)知,对任意实数均有,即

),则

所以

所以

因为

所以 .

知识点

复合函数的单调性
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

证明:

正确答案

见解析。

解析

=2-<2

知识点

复合函数的单调性
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

(1)求函数(a>0,且a≠1)的定义域;

(2)已知函数(a>0,且a≠1)的值域是R,求a的取值范围.

正确答案

(1)(2)

解析

解析:(1)≥0.

,则≥0,解得≤t<0,或t≥1,即<0,或≥1.

∴当时,函数的定义域是;

时,函数的定义域是.………………………………(6分)

(2)令(x∈R),则的值域包含.

的值域为,所以≤0,

∴a≥2.                             ……………………………(12分)

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

在直角坐标系中,曲线C的参数方程为为参数)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点,直线l的极坐标方程为

(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;

(2)设直线l与直线C的两个交点为A、B,求的值。

正确答案

见解析

解析

(1)直线

直线的直角坐标方程为,点在直线上。    

(2)直线的参数方程为为参数),曲线C的直角坐标方程为

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,

设两根为  

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,底面的中点.

(1)求证:平面平面

(2)求直线与平面所成的角;

(3)求点到平面的距离.

正确答案

见解析

解析

解析:(1)设交点为,延长的延长线于点

,∴,∴,∴

又∵,∴

又∵,∴

,∴

又∵底面,∴,∴平面

平面,∴平面平面…………………………………(4分)

(2)连结,过点点,

则由(1)知平面平面

是交线,根据面面垂直的性质,

平面,从而

为直线与平面所成的角.

中,

中,

. 所以有

即直线与平面所成的角为…………………………………(8分)

(3)由于,所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的,即. 在中,

从而点到平面的距离等于………………………………………………(12分)

知识点

复合函数的单调性
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