- 复合函数的单调性
- 共394题
某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为 120°;二级分形图是在一级分形图的每一条线段末端出发再生成 两条长度均为原来的线段;且这两条线段与原线段两两夹角为 120°;
;依次规律得到
级分形图。
则(1)级分形图中共有 条线段.
(2)级分形图中所有线段长度之和为 .
正确答案
(1);(2)
解析
依题意,(1)记级分形图中共有
条线段,则有
,
,
,由累加法得
(2)级分形图中所有线段的长度和等于
知识点
已知函数,求函数
的值域;
正确答案
解析
解析:(1)
…4分
,
,
,
所以函数的值域是
;……………………………… …………6分
知识点
在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中率都是.,每次命中与否互相独立。
(1)求油罐被引爆的概率。
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望
正确答案
见解析。
解析
(1)“油罐被引爆”的事件为事件A,其对立事件为,则P(
)=C
∴P(A)=1- 答:油罐被引爆的概率为
(2)射击次数ξ的可能取值为2,3,4,5,
P(ξ=2)=, P(ξ=3)=C
,
P(ξ=4)=C, P(ξ=5)=C
故ξ的分布列为:
Eξ=2×+3×
+4×
+5×
=
知识点
在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积
这里M=
N=
正确答案
见解析。
解析
在矩阵N=
的作用下,一个图形变换为其绕原点逆时针旋转
得到的图形,在矩阵M=
的作用下,一个图形变换为与之关于直线
对称的图形。因此
△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,从而其面积等于△ABC的面积,即为1
知识点
已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,求直线l截圆C所得的弦长。
正确答案
见解析。
解析
圆C的参数方程为(θ为参数),
所以圆C的方程为 x2+(y﹣2)2=1;圆的圆心坐标(0,2),半径为1,
直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,
所以直线l的方程为 x+y=1。
圆心到直线的距离为:,
圆心到直线的距离,半径,半弦长满足勾股定理,
故所求弦长为=
,
知识点
已知函数(
为自然对数的底数).
(1)求的最小值;
(2)设不等式的解集为
,且
,求实数
的取值范围;
(3)设,证明:
.
正确答案
见解析
解析
(1)因为,所以
.
令,得
,所以当
时,
,当
时,
。
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增。
所以当时,
有最小值
.
(2)因为不等式的解集为
,且
,
所以对任意,不等式
恒成立。
由,得
,
当时,上述不等式显然成了,所以只需考虑
的情况。
将变形为
.令
,则
。
当时,
,当
时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增。
所以当时,函数
取得最小值
.
故实数的取值范围为
.
(3)由(1)知,对任意实数均有
,即
。
令(
),则
,
所以,
即,
所以。
因为,
所以 .
知识点
证明:
正确答案
见解析。
解析
<
=2-
<2
知识点
(1)求函数(a>0,且a≠1)的定义域;
(2)已知函数(a>0,且a≠1)的值域是R,求a的取值范围.
正确答案
(1)(2)
解析
解析:(1)≥0.
令,则
≥0,解得
≤t<0,或t≥1,即
≤
<0,或
≥1.
∴当时,函数的定义域是
∪
;
当时,函数的定义域是
∪
.………………………………(6分)
(2)令(x∈R),则
的值域包含
.
又的值域为
,所以
≤0,
∴a≥2. ……………………………(12分)
知识点
在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(
为参数)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点
,直线l的极坐标方程为
。
(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;
(2)设直线l与直线C的两个交点为A、B,求的值。
正确答案
见解析
解析
(1)直线即
直线的直角坐标方程为
,点
在直线
上。
(2)直线的参数方程为
(
为参数),曲线C的直角坐标方程为
将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,
有,
设两根为,
知识点
如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,
,
,
,
,
底面
,
为
的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)求直线与平面
所成的角;
(3)求点到平面
的距离.
正确答案
见解析
解析
解析:(1)设与
交点为
,延长
交
的延长线于点
,
则,∴
,∴
,∴
,
又∵,∴
,
又∵,∴
,
∴,∴
又∵底面
,∴
,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
…………………………………(4分)
(2)连结,过点
作
于
点,
则由(1)知平面平面
,
且是交线,根据面面垂直的性质,
得平面
,从而
即
为直线
与平面
所成的角.
在中,
,
在中,
. 所以有
,
即直线与平面
所成的角为
…………………………………(8分)
(3)由于,所以可知点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离的
,即
. 在
中,
,
从而点到平面
的距离等于
………………………………………………(12分)
知识点
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