- 空间图形的公理
- 共46题
已知全集U=Z,集合A={0,1},B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为
正确答案
解析
略
知识点
若函数在其定义域的一个子区间内存在最小值,则实数k 的取值范围是( )。
正确答案
解析
因为定义域为,又,由,得.
据题意,,解得
知识点
如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长线交BC于F。
(1)求的值;
(2)若△BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为S2,求S1:S2的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)过D点作DG∥BC,并交AF于G点,则易根据E是BD的中点,可得,△BEF≌△DEG,由全等三角形的性质可将BF:FC转化为DG:FC,再由平行线分线段成比例定理即可得到答案。
(2)△BEF以BF为底,△BDC以BC为底,由(I)的结论,我们可以求出两个三角形的底边长之比,及高之比,进而求出△BEF的面积S1,四边形CDEF的面积S2的比值。
解:(1)过D点作DG∥BC,并交AF于G点,∵E是BD的中点,∴BE=DE,
又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG,∴△BEF≌△DEG,则BF=DG,∴BF:FC=DG:FC,
又∵D是AC的中点,则DG:FC=1:2,则BF:FC=1:2;即(5分)
(2)若△BEF以BF为底,△BDC以BC为底,则由(1)知BF:BC=1:3,
又由BE:BD=1:2可知h1:h2=1:2,其中h1、h2分别为△BEF和△BDC的高,
则,则S1:S2=1:5.(10分)
知识点
在中,角A、B、C所对的边分别为、、,若,则 .[来源:学§科§网]
正确答案
4
解析
略
知识点
64个正数排成8行8列,如右图所示:
其中 表示第i行第j列的数。已知每一行中的数依次都成等差数列;每一列中的数依次都成等比数列,且公比均为q:
(1)求和的值:
(2)记第n行各项之和为且),数列,,满足 (m为非零常数),且,求的取值范围;
(3)对(2)中, 记,设,求数列中最大项的项数。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为, 所以.
又成等差数列,
所以.
(2)由(1)得,第一行所成等差数列公差为,
所以.
因为 .
所以,
所以.
因为,
所以.
整理得.
而 ,所以,
所以是等差数列.
故.
因为,
所以.
所以.
所以,
所以.
所以的取值范围是 .
(3)因为是一个正项递减数列,
所以当,当.(,)
所以中最大项满足即
解得≤.
又,且,
所以,即中最大项的项数为
知识点
如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,是的中点。
(1)求三棱锥的体积;
(2)求异面直线和所成的角(结果用反三角函数值表示)。
正确答案
见解析
解析
(1)依题意,平面,底面是矩形,高,, (2分)
∴ (4分)
故. (7分)
(2)∵,所以或其补角为异面直线和所成的角,(2分)
又∵平面,∴,又,∴,∴,
于是在中,,, (4分)
, (6分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴异面直线和所成的角是(或). (7分)
知识点
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y。
(1)写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;
(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大。
正确答案
见解析。
解析
(1)易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为πx。
所以4=2x+2y+πx,
得
依题意知:0<x<y
得
所以,(),
(2)依题意,设凹槽的强度为T,横截面的面积为S,则有
=
=
=,
因为,
所以,当时,凹槽的强度最大,
答:当时,凹槽的强度最大。
知识点
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,Q是棱上的动点。
(1)若Q是PA的中点,求证:PC//平面BDQ;
(2)若PB=PD,求证:BD⊥CQ;
(3)在(2)的条件下,若PA=PC,PB=3,∠ABC=60º,求四棱锥P-ABCD的体积。
正确答案
见解析
解析
(1)连结AC,交BD于O。
因为 底面ABCD为菱形,
所以 O为AC中点。
因为 Q是PA的中点,
所以 OQ// PC,
因为OQ平面BDQ,PC平面BDQ,
所以PC//平面BDQ。 ……………………5分
(2)因为 底面ABCD为菱形,
所以 AC⊥BD,O为BD中点。
因为 PB=PD,
所以 PO⊥BD。
因为 PO∩BD =O,
所以 BD ⊥平面PAC,因为 CQ平面PAC,
所以 BD⊥CQ。 ……………………10分
(3)因为 PA=PC,
所以 △PAC为等腰三角形 。
因为 O为AC中点,
所以 PO⊥AC。
由(2)知 PO⊥BD,且AC∩BD =O,
所以 PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高。
因为四边形是边长为2的菱形,且∠ABC=60º,
所以BO=,
所以PO=。
所以 ,即。 ……………………14分
知识点
矩形的边长,,为的中点。
(1)求异面直线与所成的角的大小;
(2)求四棱锥的侧面积。
正确答案
(1)(2)
解析
解析:(1)取的中点,连、。
,的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小,……2分
由,,平面,是矩形,得,,,,,………………5分
异面直线与所成的角的大小等于,………………6分
(2)平面,,,,,。
,,平面,,,。
…………………………9分
连,由,得,同理,,又,由勾股定理逆定理得,.四棱锥的侧面积为,………………12分
知识点
如图,在四棱锥P‐ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD
的中点,求证:
(1)PB∥平面AEC;
(2)平面PCD⊥平面PAD。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:连结交于点,连结。
因为为中点,为中点,
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
(2)证明:因为平面,平面,所以,
因为在正方形中且,
所以平面。
又因为平面,所以平面平面。
知识点
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