- 空间图形的公理
- 共46题
如图，在三棱柱
（1）求证：
（2）求证：直线
（3）设
正确答案
见解析
解析
（1）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，
所以
所以
因为
由已知可得，底面
因为
因为
（2）证明：如图，连接
显然点
因为
又因为
所以直线
（3）在
此时点
过
由（1）可知
所以
又
又
知识点
设m、n是两条不同的直线，
A若
B若
C若
D若
正确答案
解析
举反例否定A、B、C
排除A、B、C
或直接据D推断
知识点
如图，在直三棱柱ABC-
（1）求证：
（2）当三棱锥
正确答案
见解析
解析
解析：（1）证明：连
又
另证：建立空间直角坐标系，证明
（2）设AE=
当且仅当
取
在
根据余弦定理得
知识点
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成的角；
（3）在线段PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由。
正确答案
见解析
解析
（1）证明：在直角△ABD中，AD=1，AB=
∴∠ABD=30°
∴∠DBC=60°
在△DBC中，CD2=BD2+BC2-2BD×BC×cos60°=4+16-2×2×4×
∴BC2=CD2+BD2，
∴BD⊥CD
∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PD⊥BD
∵PD∩CD=D
∴BD⊥平面PCD
∵PC⊂平面PCD
∴BD⊥PC；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面ABCD。
∴平面PDC⊥平面ABCD。
过D作DF∥AB交BC于F，过点F作FG⊥CD交CD于G，则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角。
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF=
∴tan∠FDG=
即直线AB与平面PDC所成角为60°。
（3）解：存在，且满足
连接EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB。
又∵DE∥平面PAB，DE∩DF=D
∴平面DEF∥平面PAB，
∵EF⊂平面DEF，∴EF∥AB。
又∵AD=1，BC=4，BF=1
∴
知识点
如图，在Rt△AOB中，∠OAB= 
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小。
（3）求CD与平面所AOB所成角的最大值.
正确答案
见解析
解析
（1）∵Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到
∴CO⊥AO，BO⊥AO
又∵二面角B-AO-C是直二面角
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角
∴∠BOC=90°
∴CO⊥BO，又AO∩BO=O
∴CO⊥平面AOB
∵CO
∴平面COD⊥平面AOB
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，所以DE∥AO
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角。
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=
∴CE=
∴CD=
cos∠CDE=
∴异面直线AO与CD所成角为arcos
（3）由（I）知，CO⊥平面AOB（这是保证），∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且tan∠CDO=
，tanCDO=
∴CD与平面AOB所成最大角的正切值为
知识点
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