空间图形的公理
共46题

· 空间图形的公理

空间图形的公理
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题型：单选题

单选题 · 5 分

5．已知向量满足，且，则与的夹角为（）

正确答案

解析

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知识点

空间图形的公理

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

（1）求四棱锥的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

正确答案

（1）在四棱锥P—ABCD中，

∵PO⊥平面ABCD，

∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，

即∠PBO=60°，

在Rt△POB中，

∵BO=AB·sin30°=1，

又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=,

（2）

取AB的中点F，连接EF，DF，

∵E为PB中点，∴EF∥PA，

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.

在Rt△AOB中，

AO=AB·cos30°==OP，

∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=.

在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，

由余弦定理得

∴cos∠DEF=

===.

所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

解析

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知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知各项均为正数的等比数列的首项，为其前项和，若成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，记数列的前项和为. 若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

解析

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知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

9．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（）

正确答案

解析

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题型：单选题

单选题 · 5 分

8．已知函数满足：

①定义域为实数集R；

②，有；

③当x∈[-1，1]时，,

则方程在区间[-10，10]内的解个数是（）

A20

B12

C11

D10

正确答案

解析

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题型：单选题

单选题 · 5 分

16．定义在R上的函数上为增函数，且为偶函数，则（）

正确答案

解析

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题型：单选题

单选题 · 5 分

6．已知数列为递增数列，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（）

D（-3，4）

正确答案

解析

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围。

正确答案

（1）函数f(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(1,+∞)

（2）(-∞,0]

解析

（1）当时，，

，

由解得，由解得.

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (6分)

（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，

则当时，不等式恒成立，即恒成立，、

设()，只需即可。

由，

(i) 当时，，

当时，，函数在上单调递减，故成立，

(ii) 当时，由，因，所以，

① 若，即时，在区间上，，

则函数在上单调递增，在上无最大值，当时，，此时不满足条件；

② 若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，

同样在上无最大值，当时，，不满足条件。

(iii) 当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立。

综上所述，实数a的取值范围是 (12分)

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点。

（1）证明：CD⊥平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

（1）是菱形，，

，为正三角形， ………………2分

又为的中点，

，

则有，，

， ………………4分

又，底面，

由，，，

平面 …………6分

（2）为侧棱的中点时，平面。 ………………7分

设为的中点，连，

则是的中位线，

且，又且，

且，四边形为平行四边形，……………10分

，

平面，平面，

平面，………………12分

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积等于__________

正确答案

解析

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