直线的方向向量
共206题

· 直线的方向向量

直线的方向向量
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题型：简答题

简答题

如图直角梯形OABC中，，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.

（Ⅰ）求的大小（用反三角函数表示）；

（Ⅱ）设

①

②OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；

③O到平面SBC的距离.

（Ⅲ）设

① .

②异面直线SC、OB的距离为 .

（注：（Ⅲ）只要求写出答案）.

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

② ③

（Ⅰ）如图所示：

C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）

………………………………………………………5分

（Ⅱ）①

……………………………………………………………………………8分

②,

，

③； ……………………………………14分

题型：简答题

简答题

如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，且，，，为的中点.

（1）证明：∥平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）

试题分析：（1）证明：连接，

因为，,所以∥,

因为面，面，所以∥面.

（2）作，分别令为

轴，轴，轴,建立坐标系如图

因为，，所以，、

所以，，，，

设面的法向量为,所以，

化简得，令，则.

设，则

设直线与面所成角为，则

所以，则直线与面所成角的正弦值为 .

点评：（1）线面关系的证明主要是应用线面平行与垂直的判定定理或性质，具体问题中要是能够根据题意适当做辅助线；（2）空间中角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的

题型：简答题

简答题

如图，已知多面体中，平面，平面，, ，为的中点

（1）求证：；

（2）求多面体的体积.

正确答案

（1）见解析 (2) .

(1)本小题可以取CD的中点O，连接OF，AO，证明即可.

(2)因为AC=CD，取AD中点H，连CH，因为平面，知CH面ABED，

所以四棱锥C-ABED的高确定

（1）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF//DE， 2分

AC=AD，AOCD DE平面ACD DECD

OFCD，又 CD平面AOF

AF平面AOF AFCD． 8分

(2) 取AD中点H，连CH 知CH面ABED CH＝ 10分

. 12分

题型：简答题

简答题

四、附加题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。

（20）（本小题满分10分）

已知是边长为1的正方形，分别为上的点，且沿将正方形折成直二面角．

（I）求证：平面平面；

（II）设点与平面间的距离为，试用表示．

正确答案

解：（1）证明略（2）

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=，SA＝SB＝。

(1)证明：SA⊥BC；

(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小；

(3）求二面角D-SA-B的大小．

正确答案

（1）见解析；（2）；（3）.

（1）通过面面垂直找到与底面垂直的线SO，然后建立空间直角坐标系，利用向量法证明两条直线垂直；（2）利用向量法把直线与平面所成的角转化为已知直线向量与平面法向量的夹角，利用数量积知识求解夹角即可；（3）先求出两个平面的法向量，然后把二面角的大小问题转化为求两法向量的夹角问题。

证明：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平

面．因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，

为轴正向，建立直角坐标系

，，，，，

，

，…所以．………………………4分

（2）取中点，，

连结，取中点，连结，．

，，．

，，

与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．

，所以，……………8分

（3）由上知为平面SAB的法向量，。易得

同理可求得平面SDA的一个法向量为 ………10分

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为。………12分

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